対称行列

線型代数学において、対称行列は転置行列に等しい正方行列である。正式には、

等行列は次元が等しいため、対称となるのは正方行列のみです。

対称行列の要素は主対角線に関して対称です。したがって、 が番目の行と番目の列 の要素を表す場合、${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

すべてのインデックスと${\displaystyle i}$${\displaystyle j.}$

すべての正方対角行列は対称です。これは、すべての非対角要素がゼロだからです。同様に、2 と異なる特性では、歪対称行列の各対角要素は、それぞれが負であるため、ゼロでなければなりません。

線形代数において、実対称行列は、実内積空間上の正規直交基底で表される自己随伴演算子^{[1]を表します。}複素内積空間に対応するオブジェクトは、複素数値の要素を持つエルミート行列であり、その共役転置に等しくなります。したがって、複素数上の線形代数では、対称行列は実数値の要素を持つ行列を指すと想定されることがよくあります。対称行列はさまざまなアプリケーションで自然に出現し、一般的な数値線形代数ソフトウェアはそれらに対して特別な対応を行っています。

次の行列は 対称行列です 。 ${\displaystyle 3\times 3}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}$

• 2 つの対称行列の和と差は対称です。
• これは積については必ずしも真ではありません。対称行列 と が与えられたとき、が対称となるのはと が可換である場合、つまり の場合のみです。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$
• 任意の整数 に対して、が対称であれば は対称です。${\displaystyle n}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$
• が存在する場合、 が対称である場合にのみ、 は対称です。${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$
• 対称行列の階数は、行列の非ゼロの固有値の数に等しくなります。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

任意の正方行列は、対称行列と歪対称行列の和として一意に表すことができます。この分解はテプリッツ分解として知られています。 が行列の空間を表すものとします。が対称行列の空間を表し、歪対称行列の空間を表す場合、 および 、つまり となります。 ここでは直和 を表します。が ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).}$$

および であることに注目してください。これは、特性が2と異なる 任意の体からの要素を持つすべての正方行列に当てはまります。${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\displaystyle X}$

対称行列はスカラー（主対角線上または主対角線より上の要素の数）によって決まります。同様に、歪対称行列はスカラー（主対角線より上の要素の数） によって決まります。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

対称行列に合同な行列はどれも対称行列です。つまり、 が対称行列であれば、任意の行列 についても対称行列になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle A}$

（実数値の）対称行列は必然的に正規行列になります。

を の標準内積で表す。実数行列が対称行列となるのは、 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

この定義は基底の選択に依存しないため、対称性は線型演算子A と内積の選択のみに依存する特性です。この対称性の特徴付けは、たとえば微分幾何学で役立ちます。多様体の各接空間には内積が与えられ、リーマン多様体と呼ばれるものが生じるからです。この定式化が使用される別の分野は、ヒルベルト空間です。

有限次元スペクトル定理によれば、要素が実数である任意の対称行列は、直交行列によって対角化できます。より明確には、すべての実対称行列 に対して、が対角行列となるような実直交行列が存在します。したがって、すべての実対称行列は、正規直交基底の選択次第で、対角行列になります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

とが可換な実対称行列である場合、それらは直交行列によって同時に対角化することができます。^[2]の基底が存在し、その基底のすべての要素は、との両方に対して固有ベクトルになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

すべての実対称行列はエルミート行列であるため、その固有値はすべて実数です。(実際、固有値は対角行列(上記) の要素であるため、その要素の順序によって一意に決定されます。) 本質的に、実数行列の対称性という特性は、複素行列のエルミート特性に対応します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

複素対称行列は、ユニタリ行列を使用して「対角化」できます。つまり、が複素対称行列である場合、が非負の要素を持つ実対角行列であるような ユニタリ行列 が存在します。この結果は、オートーヌ–高木因数分解と呼ばれます。これは、もともとレオン・オートーヌ(1915) と高木貞治(1925)によって証明され、他の数人の数学者によって異なる証明で再発見されました。^{[3] [4]}実際、行列 はエルミートかつ半正定値であるため、 が非負の実数要素を持つ対角行列であるようなユニタリ行列 が存在します。したがって、 は実数 を持つ複素対称です。との対称行列 を と書き表すと、 となります。したがって、 となります。と は交換可能であるため、と が両方とも対角であるような実直交行列が存在します。(ユニタリ行列) と設定すると、行列 は複素対角です。適切な対角ユニタリ行列（ のユニタリ性を保存する）を事前に乗算すると、 の対角要素を必要に応じて実数かつ非負にすることができます。 この行列を作成するには、対角行列を と表します。 求める行列は、 で簡単に与えられます。 明らかに希望どおりなので、 という変更を行います。 の平方は の固有値であるため、の特異値と一致します。（複素対称行列 の固有分解について注意:のジョルダン正規形は対角ではない可能性があり、そのため相似変換によって対角化されない可能性があります。） ${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\dagger }BV}$${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$${\displaystyle C^{\dagger }C}$${\displaystyle C=X+iY}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$${\displaystyle XY=YX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$${\displaystyle U'=DU}$${\displaystyle A^{\dagger }A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ジョルダン正規形を用いると、すべての実正方行列は2つの実対称行列の積として表すことができ、すべての複素正方行列は2つの複素対称行列の積として表すことができることを証明できる。^[5]

すべての実非特異行列は、直交行列と対称正定値行列の積として一意に因数分解することができ、これを極分解と呼びます。特異行列も因数分解できますが、一意にはできません。

コレスキー分解によれば、すべての実正定値対称行列は下三角行列とその転置行列 の積である。${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$$

行列が対称不定値行列である場合、それは のように分解される。ここでは置換行列（ をピボットする必要があることから生じる）、下単位三角行列、 は対称ブロックとブロックの直和であり、これはバンチ・カウフマン分解と呼ばれる^[6]。${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle 2\times 2}$

一般的な（複素）対称行列は欠陥があり、対角化できない場合があります。が対角化できる場合は、 のように分解できます 。 ここで、 は直交行列、 はの固有値の対角行列です。が実対称である特殊なケースでは、とも実数になります。直交性を確認するには、と が異なる固有値、に対応する固有ベクトルであると仮定します。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$$${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

と は異なるため、 となります。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

実関数の対称行列は、実変数の2回微分可能な関数のヘッセ行列として現れます（一般には逆であると思われていますが、2次導関数の連続性は必要ありません^[7]）。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$

上のすべての二次形式は 、対称行列を持つ形式で一意に表すことができます。上記のスペクトル定理により、 の正規直交基底の選択を除き、すべての二次形式は、 実数 を持つ「ように見える」 と言えます。これにより、二次形式の研究、および円錐曲線の一般化であるレベル セットの研究が大幅に簡素化されます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

これが重要なのは、すべての滑らかな多変数関数の 2 次動作が関数のヘッセ行列に属する 2 次形式によって記述されるためです。これはテイラーの定理の結果です。

行列が対称化可能であるとは、逆対角行列と対称行列が存在し、${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A=DS.}$

対称化可能な行列の転置は対称化可能です。これは、およびが対称であるためです。行列が対称化可能であるのは、次の条件が満たされた場合のみです。 ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$${\displaystyle DSD}$${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$すべてを意味する${\displaystyle a_{ji}=0}$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$任意の有限列に対して${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

正方行列内の他の種類の対称性またはパターンには特別な名前が付けられています。たとえば、次のようになります。

数学における対称性も参照してください。

• 「対称行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 実対称行列の固有値特性の簡単な紹介と証明
• C++ で対称行列を実装する方法