欠陥のあるマトリックス

線型代数学 において、欠陥行列とは、固有ベクトルの完全な基底を持たない正方行列であり、したがって対角化できません。特に、行列が欠陥行列となるのは、線形独立な固有ベクトルを持たない場合のみです。^{[1]完全な基底は、}一般化固有ベクトルで固有ベクトルを増やすことで形成されます。これは、常微分方程式やその他の問題の欠陥のあるシステムを解くために必要です。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

欠陥のある行列には、常に異なる固有値の数が より少ない。これは、異なる固有値には常に線形独立な固有ベクトルがあるためである。特に、欠陥のある行列には、代数的重複度を持つ 1 つ以上の固有値 (つまり、特性多項式の多重根) があるが、に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの数が より少ない。 の代数的重複度が幾何的重複度(つまり、 に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの数)を超える場合、 は欠陥のある固有値であると言われる。^[1]ただし、代数的重複度を持つすべての固有値には、常に線形独立な一般化固有ベクトルがある。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

実 対称行列、より一般的にはエルミート行列、ユニタリ行列に欠陥はありません。より一般的には、正規行列（エルミート行列とユニタリ行列を特殊なケースとして含む）に欠陥はありません。

以上のサイズの非自明なジョーダンブロック（つまり、完全に対角ではない）は欠陥がある。（対角行列は、サイズのすべての自明なジョーダンブロックを含むジョーダン正規形の特別な場合であり、欠陥ではない。）例えば、ジョーダンブロック ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

は、代数的重複度（同じ固有値を持つ他のジョルダンブロックがある場合はそれより大きくなる）を持つ固有値を持ちますが、異なる固有ベクトル は 1 つだけです。他の標準基底ベクトルは、に対してとなる一般化固有ベクトルの連鎖を形成します。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$

任意の欠陥行列には、非自明なジョルダン正規形があり、これはそのような行列の 対角化に最も近いものです。

欠陥のあるマトリックスの簡単な例は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

3の 二重固有値を持ちますが、異なる固有ベクトルは1つしかありません。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(およびその定数倍)。

• ジョルダン標準形 – 行列の固有値とその代数的重複度を示す形式

• ゴルブ、ジーン H.; ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 978-0-8018-5414-9
• ストラング、ギルバート (1988)。線形代数とその応用(第 3 版)。サンディエゴ: ハーコート。ISBN 978-970-686-609-7。