固有モーメント

レイリー商の最適化^{[ 3 ] [ 4 ]}は次の形式をとる。

${\displaystyle \max _{w}R(w)=\max _{w}{\frac {w^{T}Aw}{w^{T}Bw}}}$

そして${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$どちらも対称で${\displaystyle B}$正定値であり、したがって可逆である。スケーリング${\displaystyle w}$オブジェクト関数の値を変更しないため、追加のスカラー制約はありません。${\displaystyle w^{T}Bw=1}$課すことができる${\displaystyle w}$目的関数を最適化する際に、解が失われることはない。

この制約付き最適化問題は、ラグランジュ乗数法を用いて解くことができる。

${\displaystyle \max _{w}{w^{T}Aw}}$対象${\displaystyle {w^{T}Bw}=1}$

${\displaystyle \max _{w}{\mathcal {L}}(w)=\max _{w}(w{T}Aw-\lambda w^{T}Bw)}$

一次導関数をゼロに等しいとおくと、次のようになります。

${\displaystyle Aw=\lambda Bw}$

これは一般化固有値問題（GEP）の一例です。GEPは次の形式をとります。

${\displaystyle Aw=\lambda Bw}$

任意のペアに対して${\displaystyle (w,\lambda )}$これは上記の方程式の解です。${\displaystyle w}$一般化固有ベクトルと呼ばれ、${\displaystyle \lambda }$これは一般化固有値と呼ばれます。

発見${\displaystyle w}$そして${\displaystyle \lambda }$この方程式を満たすものは、レイリー商を最適化する結果を生み出すだろう。

レイリー商を最大化する一つの方法は、一般化固有値問題を解くことである。次元削減は、最初の成分を選択するだけで実行できる。${\displaystyle w_{i}}$、${\displaystyle i=1,...,k}$最も高い値は${\displaystyle R(w)}$から${\displaystyle m}$コンポーネントを抽出し、残りを破棄します。この変換の解釈は、モーメント空間を回転およびスケーリングし、 SNRが最大化された特徴空間に変換し、したがって最初の${\displaystyle k}$コンポーネントは、最も高いコンポーネントです${\displaystyle k}$SNR値。

この解決策を検討するもう1つの方法は、一般化固有値問題の代わりに同時対角化の概念を使用することです。

1. させて${\displaystyle A=X^{T}CX}$そして${\displaystyle B=X^{T}NX}$前述のとおりです。${\displaystyle W}$2つの別々の変換行列として：

${\displaystyle W=W_{1}W_{2}.}$

1. ${\displaystyle W_{1}}$まずBを対角化することで見つけることができます。

${\displaystyle P^{T}BP=D_{B}}$。

どこ${\displaystyle D_{B}}$は昇順にソートされた対角行列です。${\displaystyle B}$正定値であるため、${\displaystyle D_{B}>0}$。この段階では、大きな固有値を持つ固有ベクトルを破棄し、0に近い固有値を保持することができます。これは、この空間ではノイズのエネルギーが0に近いことを意味するため、大きな固有値を持つ固有ベクトルを破棄することも可能です。

させて${\displaystyle {\hat {P}}}$最初に${\displaystyle k}$列${\displaystyle P}$、 今${\displaystyle {\hat {P^{T}}}B{\hat {P}}={\hat {D_{B}}}}$どこ${\displaystyle {\hat {D_{B}}}}$は${\displaystyle k\times k}$主小行列${\displaystyle D_{B}}$。

1. させて

${\displaystyle W_{1}={\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2}}$

したがって：

${\displaystyle W_{1}^{T}BW_{1}=({\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})^{T}B({\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})=I}$。

${\displaystyle W_{1}}$ホワイトニング${\displaystyle B}$そして次元を削減します${\displaystyle m}$に${\displaystyle k}$変容した空間には${\displaystyle q'=W_{1}^{T}X^{T}s}$これはノイズ空間と呼ばれます。

1. 次に、対角化します${\displaystyle W_{1}^{T}AW_{1}}$:

${\displaystyle W_{2}^{T}W_{1}^{T}AW_{1}W_{2}=D_{A}}$、

どこ${\displaystyle W_{2}^{T}W_{2}=I}$。${\displaystyle D_{A}}$は、固有値を持つ行列です。${\displaystyle W_{1}^{T}AW_{1}}$対角成分について。前のステップでほとんどのノイズが既に除去されているため、すべての固有値とその対応する固有ベクトルを保持することができます。

1. 最終的に、変換は次のように表されます。

${\displaystyle W=W_{1}W_{2}}$

どこ${\displaystyle W}$SNRの分子と分母の両方を対角化する。

${\displaystyle W^{T}AW=D_{A}}$、${\displaystyle W^{T}BW=I}$信号の変換${\displaystyle s}$は次のように定義される。${\displaystyle q=W^{T}X^{T}s=W_{2}^{T}W_{1}^{T}X^{T}s}$。

固有値と固有ベクトルの一部を破棄した場合の情報損失を求めるには、以下の分析を行うことができる。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\eta &=&1-{\frac {trace(W_{1}^{T}AW_{1})}{trace(D_{B}^{-1/2}P^{T}APD_{B}^{-1/2})}}\\&=&1-{\frac {trace({\hat {D_{B}}}^{-1/2}{\hat {P}}^{T}A{\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})}{trace(D_{B}^{-1/2}P^{T}APD_{B}^{-1/2})}}\end{array}}}$

もし私たちが許せば${\displaystyle X=[1,x,x^{2},...,x^{m-1}]}$つまり、変換後の単項式${\displaystyle X^{T}}$幾何モーメントはベクトルで表される。${\displaystyle M}$信号の${\displaystyle s=[s(x)]}$つまり${\displaystyle M=X^{T}s}$。

実際には、サンプル数が不十分なため相関信号を推定することは困難であり、そのためパラメトリックな手法が用いられる。

そのようなモデルの一つは、次のように定義できる。

${\displaystyle r(x_{1},x_{2})=r(0,0)e^{-c(x_{1}-x_{2})^{2}}}$、

どこ${\displaystyle r(0,0)=E[tr(ss^{T})]}$この相関モデルは他のモデルに置き換えることも可能ですが、このモデルは一般的な自然画像に対応しています。

以来${\displaystyle r(0,0)}$最大化には影響しないため、削除しても構いません。

${\displaystyle A=X^{T}CX=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j}x_{2}^{i}e^{-c(x_{1}-x_{2})^{2}}]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}dx_{2}}$

ノイズの相関は次のようにモデル化できる。${\displaystyle \sigma _{n}^{2}\delta (x_{1},x_{2})}$、 どこ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}}$騒音のエネルギーです。${\displaystyle \sigma _{n}^{2}}$その定数は最大化問題に何の影響も与えないため、省略できる。

${\displaystyle B=X^{T}NX=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j}x_{2}^{i}\delta (x_{1},x_{2})]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}dx_{2}}$${\displaystyle B=X^{T}NX=\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j+i}]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}=X^{T}X}$

計算されたAとBを使用し、前のセクションで説明したアルゴリズムを適用すると、次のことがわかります。${\displaystyle W}$変換された単項式の集合${\displaystyle \Phi =[\phi _{1},...,\phi _{k}]=XW}$これはEMアルゴリズムのモーメントカーネルを生成する。EMアルゴリズムのモーメントカーネルは、画像内の相関関係を無相関化する。

${\displaystyle \Phi ^{T}C\Phi =(XW)^{T}C(XW)=D_{C}}$、

そして、それらは直交している。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Phi ^{T}\Phi &=&(XW)^{T}(XW)\\&=&W^{T}X^{T}X\\&=&W^{T}X^{T}NXW\\&=&W^{T}BW\\&=&I\\\end{array}}}$

2D信号の場合の導出は1D信号の場合と同じですが、従来の幾何モーメントを直接用いて2D固有モーメントのセットを取得します。

次数 の幾何モーメントの定義${\displaystyle (p+q)}$2D画像信号の場合、次のようになります。

${\displaystyle m_{pq}=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}x^{p}y^{q}f(x,y)dxdy}$。

これは次のように表すことができます。${\displaystyle M=\{m_{j,i}\}_{i,j=0}^{i,j=m-1}}$すると、2D固有モーメントの集合は次のようになります。

${\displaystyle \Omega =W^{T}MW}$、

どこ${\displaystyle \Omega =\{\Omega _{j,i}\}_{i,j=0}^{i,j=k-1}}$これは、固有モーメントの集合を含む行列です。

${\displaystyle \Omega _{j,i}=\Sigma _{r=0}^{m-1}\Sigma _{s=0}^{m-1}w_{r,j}w_{s,i}m_{r,s}}$。

モーメント不変量のセットを取得するために、正規化された幾何モーメントを使用することができます。${\displaystyle {\hat {M}}}$の代わりに${\displaystyle M}$。

正規化された幾何モーメントは、回転、拡大縮小、変換に対して不変であり、次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\hat {m}}_{pq}&=&\alpha ^{p}+q+2\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[(x-x^{c})cos(\theta )+(y-y^{c})sin(\theta )]^{p}\\&=&\times [-(x-x^{c})sin(\theta )+(y-y^{c})cos(\theta )]^{q}\\&=&\times f(x,y)dxdy,\\\end{array}}}$

どこ：${\displaystyle (x^{c},y^{c})=(m_{10}/m_{00},m_{01}/m_{00})}$は画像の重心です${\displaystyle f(x,y)}$そして

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha &=&[m_{00}^{S}/m_{00}]^{1/2}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}tan^{-1}{\frac {2m_{11}}{m_{20}-m_{02}}}\end{array}}}$。

${\displaystyle m_{00}^{S}}$この式における は、画像に応じて変化するスケーリング係数です。${\displaystyle m_{00}^{S}}$バイナリ画像の場合、通常は1に設定されます。