コンパニオンマトリックス

線型代数学において、 単項多項式のフロベニウス 伴行列は次のように定義される 正方行列 である。 $${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

一部の著者はこの行列の転置行列を使用しますが、これは線形再帰関係などのいくつかの目的にはより便利です(以下を参照)。 ${\displaystyle C(p)^{T}}$

${\displaystyle C(p)}$は の係数から定義され、の特性多項式と最小多項式はに等しい。^[1]この意味で、行列と多項式は「仲間」である。 ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle p(x)}$

体Fの要素を持つ任意の行列Aには特性多項式 があり、特性多項式には対応する行列 があります。これらの行列は次のように関連しています。 ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$${\displaystyle C(p)}$

次の文は同等です。

• A はF上でと相似である 、つまりA はGL _n ( F )内の行列によってその伴う行列に共役できる。${\displaystyle C(p)}$
• 特性多項式はAの最小多項式と一致する、つまり、最小多項式の次数はnである。${\displaystyle p(x)}$
• 線型写像は、形式の基底を持つ巡回- 加群を作成します。または、 - 加群として同等です。${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$${\displaystyle F[A]}$

上記が成り立つ場合、A は非軽蔑的であると言えます。

すべての正方行列が伴行列と相似というわけではありませんが、すべての正方行列は伴行列で構成されたブロック対角行列と相似です。各対角ブロックの多項式が次のブロックの多項式を割り切ることも要求する場合、それらはAによって一意に決定され、これによりAの有理標準形が得られます。

特性多項式の根はの固有値です。n 個の異なる固有値がある場合、 はと対角化できます。ここで、Dは対角行列、V はλに対応するVandermonde 行列です。 実際、非常に難しい計算により、転置には の固有ベクトルがあることが示され、これは から導かれます。したがって、その基底行列の対角化変換は であり、つまり であり、両辺の転置を取ると になります。 ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle C(p)^{T}}$${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$

の固有ベクトルは、方程式から読み取ることができます。これらは、逆ヴァンデルモンド行列の列ベクトルです。この行列は明示的に知られており、座標がラグランジュ多項式の係数に等しい固有ベクトル を与えます。 あるいは、スケールされた固有ベクトルの係数はより単純になります。 ${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ ${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$ $${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$

に多重根がある場合、 は対角化できません。 むしろ、のジョルダン標準形には、各相異なる根に対して 1 つの対角ブロックが含まれ、根が重複度mの場合、対角線上にを含むm × mブロックが含まれます。 ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

によって定義される線形再帰シーケンスには特性多項式 があり、その転置コンパニオン行列は次のシーケンスを生成します。 ベクトルはこの行列の固有ベクトルで、固有値は の根です。シーケンスの初期値をこのベクトルに設定すると、再帰性を満たす幾何シーケンスが生成されます。nつの異なる固有値の場合、任意の解はそのような幾何解の線形結合として表すことができ、最大複素ノルムの固有値は漸近近似 を与えます。 ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$${\displaystyle C(p)^{T}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$${\displaystyle a_{k}}$

上記の線形再帰の場合と同様に、スカラー関数 のn次同次線形 ODE を考えます。 これは、ベクトル関数 の 1 次同次線形 ODE の結合システムとして同等に記述できます。 ここ で、は特性多項式の転置コンパニオン マトリックスです 。 ここで、係数は定数だけでなく関数である場合もあります。 ${\displaystyle y=y(t)}$$${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$$${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$${\displaystyle C(p)^{T}}$$${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$

が対角化可能な場合、基底の対角化変更により、各座標における 1 つのスカラー同次 1 次線形 ODE と同等の分離システムに変換されます。 ${\displaystyle C(p)^{T}}$

非同次方程式は、 非同次項 を 持つシステム: と同等です 。 $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$$${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$

再び、基底の対角化変更により、これはスカラー不同次 1 次線形 ODE の分離されたシステムに変換されます。

の場合、固有値が1 の複素根であるとき、伴う行列とその転置は両方とも、巡回行列であるシルベスターの巡回シフト行列に簡約されます。 ${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$

体の係数を持つ多項式を考え、が多項式環で既約であるとする。するとの根を付加すると体拡大 が生成され、これも標準基底 を持つ上のベクトル空間となる。すると-線型乗算写像 ${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ 定義 ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

は、標準基底に関してn × n行列を持ちます。およびなので、これは のコンパニオン行列です。 この拡大が分離可能と仮定すると（たとえば、が特性ゼロを持つか、 が有限体である場合）、はに対して異なる根を持つため、 となり 、 は分解体 を持ちます。現在、は 上で対角化できません。むしろ、上の -線型写像、つまり 上のベクトル空間に拡張する必要があります。このマップは、ベクトル を含み、標準基底 を持ちます。拡張されたマッピングは によって定義されます。 ${\displaystyle [m_{\lambda }]}$${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$${\displaystyle p(x)}$$${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$$${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ ${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$

行列は変更されませんが、上記のように、 の要素を持つ行列によって対角化できます。 対角行列と に対応するヴァンデルモンド行列Vの場合。固有ベクトル（逆ヴァンデルモンド行列のスケールされた列ベクトル）の明示的な式は、次のように記述できます。 ここで、はスケールされたラグランジュ多項式の係数です。 ${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$ ${\displaystyle V^{-1}}$$${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$$${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

• フロベニウス準同型
• ケーリー・ハミルトン定理
• クリロフ部分空間