二次固有値問題

数学において、二次固有値問題^[1]（QEP）は、スカラー 固有値 、左固有ベクトル、右固有ベクトルを求める問題であり、 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q(\lambda )x=0~{\text{ および }}~y^{\ast }Q(\lambda )=0,}$

ここで、行列係数が で、 が成り立つことが必要です(非ゼロの先頭係数を持つため)。無限または有限の固有値、あるいはゼロの固有値があります。 これは、非線形固有値問題の特殊なケースです。は、2 次多項式行列とも呼ばれます。 ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$${\displaystyle M,\,C,K\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle M\,\neq 0}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle Q(\lambda )}$

QEP が と同一である場合、 QEP は正則であると言われます。 の項の係数はであり、 が特異でない場合、QEP は正則であることを意味します。 ${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))\not \equiv 0}$${\displaystyle \lambda^{2n}}$${\displaystyle {\text{det}}(Q(\lambda ))}$${\displaystyle {\text{det}}(M)}$${\displaystyle M}$

無限遠における固有値と 0 における固有値は、逆多項式 を考慮することで交換できます。次元空間には固有ベクトルがあるため、固有ベクトルは直交できません。異なる固有値に同じ固有ベクトルが付加される可能性があります。 ${\displaystyle \lambda^{2}Q(\lambda^{-1})=\lambda^{2}K+\lambdaC+M}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$

二次固有値問題は、強制なしに2次線形微分方程式の解法で自然に発生します。

${\displaystyle Mq''(t)+Cq'(t)+Kq(t)=0}$

ここで、、およびである。 のすべての2次固有値が異なっている場合、解は2次固有値と右2次固有ベクトルを使って次のように表される。 ${\displaystyle q(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M,C,K\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$

${\displaystyle q(t)=\sum _{j=1}^{2n}\alpha _{j}x_{j}e^{\lambda _{j}t}=Xe^{\Lambda t}\アルファ }$

ここで、は 2 次固有値、は右 2 次固有ベクトル、 はおよびの初期条件から決定されるパラメータ ベクトルです。 解の挙動は (2 次) 固有値に明示的に依存するため、線形システムの安定性理論を適用できるようになりました。 ${\displaystyle \Lambda ={\text{Diag}}([\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2n}])\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$${\displaystyle X=[x_{1},\ldots ,x_{2n}]\in \mathbb {R} ^{n\times 2n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \alpha =[\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{2n}]^{\top }\in \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q'}$

QEP は、有限要素法によって離散化された構造の動的解析の一部になります。この場合、2 次方程式は という形式になります。ここで、は質量行列、は減衰行列、は剛性行列です。その他の用途には、振動音響学や流体力学があります。 ${\displaystyle Q(\lambda )}$${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$

標準または一般化固有値問題を 解く直接的な方法は、 問題をシューア形式または一般化シューア形式に変換することに基づいています。ただし、2 次行列多項式には類似の形式がありません。1 つの方法は、2 次行列多項式を線形行列ペンシル( ) に変換し、一般化固有値問題を解くことです。線形問題の固有値と固有ベクトルが決定されると、2 次問題の固有ベクトルと固有値が決定されます。 ${\displaystyle Ax=\lambda x}$${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$${\displaystyle A-\lambda B}$

最も一般的な線形化は、最初のコンパニオン線形化 である。

${\displaystyle L1(\lambda )={\begin{bmatrix}0&N\\-K&-C\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}},}$

対応する固有ベクトル

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}x\\\lambda x\end{bmatrix}}.}$

便宜上、 を単位行列とみなすことがよくあります。および を解くには、たとえば一般化シューア形式を計算します。 次に、 の最初の要素を元の 2 次方程式 の固有ベクトルとしてとることができます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle L(\lambda )z=0}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q(\lambda )}$

もう一つの一般的な線形化は次のように表される。

${\displaystyle L2(\lambda )={\begin{bmatrix}-K&0\\0&N\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}C&M\\N&0\end{bmatrix}}.}$

またはのいずれかがハミルトン行列であり、他方が歪ハミルトン行列である場合、次の線形化を使用できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle L3(\lambda )={\begin{bmatrix}K&0\\C&K\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}0&K\\-M&0\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle L4(\lambda )={\begin{bmatrix}0&-K\\M&0\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}M&C\\0&M\end{bmatrix}}.}$