マトリックスのスペクトル

数学において、行列のスペクトルとは、その固有値の集合である。^{[1] [2] [3]} より一般的には、が任意の有限次元ベクトル空間上の線型作用素である場合、そのスペクトルとは、が逆でないスカラーの集合である。行列の行列式は、その固有値の積に等しい。同様に、行列のトレースはその固有値の合計に等しい。^{[4] [5] [6]} この観点から、特異行列の擬似行列式をその非ゼロの固有値の積として定義することができる（多変量正規分布の密度にはこの量が必要になる）。 ${\displaystyle T\colon V\to V}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T-\lambda I}$

PageRankなどの多くのアプリケーションでは、支配的な固有値、つまり絶対値が最大の固有値に注目します。他のアプリケーションでは、最小の固有値が重要ですが、一般に、スペクトル全体がマトリックスに関する貴重な情報を提供します。

V をある体K上の有限次元ベクトル空間とし、T  : V → Vが線型写像であるとする。Tのスペクトルはσ _Tと表記され、 Tの特性多項式の根の多重集合である。したがって、スペクトルの要素はまさにTの固有値であり、スペクトル内の固有値 λの重複度は、 λに対するTの一般化固有空間の次元に等しい（λの代数的重複度とも呼ばれる）。

ここで、K上のVの基底 B を固定し、M ∈ Mat _K ( V ) が行列であると仮定します。 T  : V → Vの線型写像をTx = Mxによって点ごとに定義します。ここで、右側のx は列ベクトルとして解釈され、M は行列の乗算によってxに作用します。ここで、 x がTの固有ベクトルである場合、x ∈ VはMの固有ベクトルであると言えます。同様に、 λ ∈ K は、 Tの固有値であり、同じ重複度を持ち、 Mのスペクトル( σ _Mと表記) がそのようなすべての固有値の多重集合で ある場合に、 Mの固有値です。

対角化可能な行列の固有分解（またはスペクトル分解）は、対角化可能な行列を特定の標準形式に分解し、行列をその固有値と固有ベクトルで表すこと です。

正方行列のスペクトル半径は、その固有値の最大絶対値です。スペクトル理論では、有界線形演算子のスペクトル半径は、その演算子のスペクトル内の要素の絶対値の 上限です。

• ゴルブ、ジーン H.; ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
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• クレイシグ、アーウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8
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