対角行列

線型代数において、対角行列とは、主対角線以外の要素がすべてゼロである行列のことです。この用語は通常、正方行列を指します。主対角線の要素は、ゼロでも非ゼロでもかまいません。2×2 対角行列の例は、3×3 対角行列の例は です。任意のサイズの単位行列、またはその倍数は、スカラー行列と呼ばれる対角行列で、たとえば です。幾何学では、対角行列をスケーリング行列として使用することがあります。これは、対角行列を掛け合わせるとスケール (サイズ) が変わり、場合によっては形状も変わるためです。スケールが均一に変化するのはこのスカラー行列だけです。 ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$

上で述べたように、対角行列とは、すべての非対角要素がゼロである行列である。つまり、n列n行の行列D = ( d _{i , j} )は、次の場合に対角行列である 。$${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

ただし、主な対角エントリは制限されません。

対角行列という用語は、直交対角行列。これはm行n列の行列で、すべての要素がd _iの形式ではなく_、iが 0 である行列です。例: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{または}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

しかし、対角行列は正方行列を指すことが多く、明示的に次のように指定することができます。正方対角行列。正方対角行列は対称行列なので、対称対角行列。

次の行列は正方対角行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

要素が実数または複素数の場合、それは通常の行列でもあります。

この記事の残りの部分では、正方対角行列のみを検討し、単に「対角行列」と呼びます。

対角行列D は、次の演算子を使用してベクトルから構築できます。 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \operatorname {diag} }$$${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$$

これは、より簡潔に と書くこともできます。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (\mathbf {a} )}$

同じ演算子は、各引数A _iが行列で あるブロック対角行列を表すためにも使用されます。${\displaystyle \mathbf {A} =\演算子名 {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{n})}$

diag演算子は次のように記述できます。 ここで、はアダマール積を表し、1 は要素 1 を持つ定数ベクトルです。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} }$$${\displaystyle \circ}$

逆行列からベクトルへのdiag演算子は、引数が行列になり、結果がその対角要素のベクトルになる、 同じ名前の で表されることもあります。${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

次の特性が当てはまります。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}} \right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} }$$

対角要素が等しい対角行列はスカラー行列、つまり単位行列Iのスカラー倍数λです。ベクトルに対する効果は、 λによるスカラー乗算です。たとえば、 3×3 スカラー行列は次の形式になります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

スカラー行列は行列の代数の中心です。つまり、それらはまさに同じサイズの他のすべての正方行列と交換可能な行列です。 ^[a]対照的に、体（実数など）上では、すべての対角要素が異なる対角行列は、対角行列とのみ交換可能です（その中心化は対角行列の集合です）。これは、対角行列が、積の( i , j )項を持つ行列Mを与える場合、およびおよび（ m _ijで割ることができるため）であるためです。したがって、非対角項がゼロでない限り、それらは交換しません。^[b]対角要素がすべて等しい、またはすべて異なるわけではない対角行列には、空間全体と対角行列のみの中間の中心化があります。^[1]${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$

抽象ベクトル空間V （具体的なベクトル空間K ⁿではなく）の場合、スカラー行列の類似物はスカラー変換です。これは、環R上のモジュール Mに対して、行列の代数を自己準同型代数End( M ) （ M上の線型作用素の代数）で置き換えた場合に、より一般的に当てはまります。形式的には、スカラー乗算は線型写像であり、（スカラーλからそれに対応するスカラー変換、 λによる乗算への）写像を誘導し、 End( M ) をR 代数として示します。ベクトル空間の場合、スカラー変換はまさに自己準同型代数の中心であり、同様に、スカラー可逆変換は一般線型群GL( V )の中心です。前者は、より一般的には、自己準同型代数が行列代数と同型である真の自由モジュールです。 ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$ ${\displaystyle M\cong R^{n},}$

ベクトルに対角行列を掛けると、各項に、対応する対角要素が掛けられます。対角行列とベクトルが与えられた場合、積は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは、対角行列の代わりにベクトル を使用し、ベクトルのアダマール積（エントリごとの積）を取ることで、より簡潔に表現できます。 ${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは数学的には同等ですが、この疎行列のゼロ項をすべて格納することを回避します。この積は、バックプロパゲーションでの導関数の積の計算やTF-IDFでのIDF重みの乗算など、機械学習で使用されます。 ^{[2]行列を効率的に乗算する}BLASフレームワークの中には、アダマール積機能が直接含まれていないものもあるためです。^[3]

行列の加算と乗算の演算は、対角行列では特に簡単です。左上隅から始まる対角要素がa ₁ 、 ... 、 a _nである対角行列をdiag( a ₁、...、a _n )と書きます。すると、加算については、次のようになります 。

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

行列の乗算については、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

対角行列diag( a ₁ , ..., a _n )は、要素a ₁ , ..., a _nがすべて非ゼロの場合にのみ逆行列を 持ちます。この場合、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

特に、対角行列はすべてのn行n列の行列の環の部分環を形成します。

n行n列の行列A を左からdiag( a ₁ , ..., an )で乗算すると、すべてのiについてAのi行目にa _iを乗算するのと同じになります。_また、行列A を右からdiag( a ₁ , ..., an )で乗算すると、すべてのiについてAのi列目にa _{i を}乗算するのと同じになります。

演算子行列の係数の決定で説明したように、行列A が対角形式をとる特別な基底e ₁、...、e _nがあります。したがって、定義方程式では、i ≠ jのすべての係数a _{i, j}はゼロであり、合計ごとに1つの項のみが残ります。生き残った対角要素a _{i, j}は固有値と呼ばれ、方程式ではλ _iで指定され、次のように簡約されます。結果として得られる方程式は固有値方程式^[4]と呼ばれ、特性多項式、さらには固有値と固有ベクトルを導出するために使用されます。 ${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$

言い換えれば、diag ( λ1 ,..., _λn )の固有値はλ1 _, ... , _λnとそれに関連する固有ベクトルe1 ,... , enです_。

• diag( a ₁ , ..., a _n )の行列式は積a ₁ ⋯ a _nです。
• 対角行列の付加行列もまた対角行列です。
• すべての行列が正方行列である場合、
  • 行列が対角行列となるのは、それが三角行列かつ正規行列である場合のみです。
  • 行列が対角行列となるのは、上三角行列と下三角行列の両方である場合のみです。
  • 対角行列は対称です。
• 単位行列 I n_と零行列は対角行列です。
• 1×1 行列は常に対角行列です。
• トレースがゼロの 2×2 行列の平方は常に対角になります。

対角行列は線形代数の多くの分野で発生します。上記の行列演算と固有値/固有ベクトルの簡単な説明のため、通常、与えられた行列または線形マップを対角行列で 表すことが望ましいです。

実際、与えられたn行n列の行列A は、 n個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合にのみ、対角行列（X ⁻¹ AXが対角となるような行列Xが存在する）に類似します。このような行列は対角化可能であると言われています。

実数または複素数の体では、さらに多くのことが当てはまります。スペクトル定理によれば、すべての正規行列は対角行列とユニタリ相似です( AA ^∗ = A ^∗ Aの場合、 UAU ^∗が対角となるようなユニタリ行列Uが存在します)。さらに、特異値分解により、任意の行列Aに対して、 U ^∗ AV が正の要素を持つ対角となるようなユニタリ行列UとV が存在することになります。

作用素理論、特に偏微分方程式の研究では、作用素が基底に対して対角関係にある場合、特に作用素を理解しやすく、偏微分方程式を解きやすいものになります。これは、分離可能な偏微分方程式に対応します。したがって、作用素を理解するための重要な手法は、座標の変更（作用素の言葉で言えば積分変換）です。これにより、基底が固有関数の固有基底に変更され、方程式が分離可能になります。 重要な例としては、熱方程式のラプラシアン作用素など、定数係数微分作用素（より一般的には並進不変作用素）を対角化するフーリエ変換があります。

特に簡単なのは乗算演算子です。これは、固定された関数（の値）による乗算として定義されます。各点における関数の値は、行列の対角要素に対応します。

• ホーン、ロジャー・アラン、ジョンソン、チャールズ・ロイヤル（1985）、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6