不変部分空間

数学において、線型写像T  : V → Vの不変部分空間、すなわちあるベクトル空間Vからそれ自身への写像は、Tによって保存されるVの部分空間W である。より一般的には、線型写像の集合に対する不変部分空間は、各写像によって個別に保存される部分空間である。

ベクトル空間と線型写像を考える。 部分空間はの不変部分空間と呼ばれる。あるいは、T が任意のベクトルをWに戻す場合、 T不変とも呼ばれる。式では、これは次のように書ける。または^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle T:V\to V.}$${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbf {v} \in W}$$${\displaystyle \mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W}$$ $${\displaystyle TW\subseteq W{\text{.}}}$$

この場合、Tは Wの準同型に制限される：^[2]$${\displaystyle T|_{W}:W\to W{\text{;}}\quad T|_{W}(\mathbf {w} )=T(\mathbf {w} ){\text{.}}}$$

不変部分空間の存在には行列定式化もあります。Wの基底 Cを選び、それをVの基底Bに完成させます。 Bに関して、演算子T は、あるT ₁₂およびT ₂₂に対して形式を持ちます。ここで、 は基底Cに関するの行列を表します。 $${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T|_{W}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle T|_{W}}$${\displaystyle T|_{W}}$

任意の線型写像は次の不変部分空間を許容します。 ${\displaystyle T:V\to V}$

• ベクトル空間は、内のすべてのベクトルを に写像するため、${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$
• セット、なぜなら。${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle T(0)=0}$

これらはそれぞれ、不適切および自明な不変部分空間です。特定の線形演算子には、適切な非自明な不変部分空間がありません。たとえば、2 次元の実ベクトル空間の回転などです。ただし、3 次元の回転の 軸は常に不変部分空間です。

U がベクトルv ∈ Uを持つ演算子Tの 1 次元不変部分空間である場合、ベクトルvとT v は線形従属でなければなりません。したがって、実際には、スカラーα はvに依存しません。 $${\displaystyle \forall \mathbf {v} \in U\;\exists \alpha \in \mathbb {R} :T\mathbf {v} =\alpha \mathbf {v} {\text{.}}}$$

上記の式は、固有値問題を定式化したものです。Tの任意の固有ベクトルは1 次元の不変部分空間に広がり、その逆も同様です。特に、非ゼロの不変ベクトル(つまり、Tの固定点) は、次元 1 の不変部分空間に広がります。

代数学の基本定理の結果として、非ゼロの有限次元 複素ベクトル空間上のすべての線形演算子は固有ベクトルを持ちます。したがって、少なくとも 2 次元のそのようなすべての線形演算子には、適切な非自明な不変部分空間があります。

与えられた部分空間W がTに対して不変であるかどうかを判断することは、明らかに幾何学的な性質の問題です。行列表現により、この問題を代数的に表現することができます。

V を直和 W  ⊕  W ′として書きます。適切なW ′ は常にWの基底を拡張することで選択できます。関連するWへの射影演算子 P は行列表現を持ちます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.}$

簡単な計算により、PTP =  TPの場合にのみWはT不変であることがわかります。

1 が恒等演算子である場合、1- P はW ′への射影である。方程式TP = PTが成り立つのは、 im( P ) と im(1 −  P )の両方がT の下で不変である場合に限ります。その場合、T は行列表現を持ちます。$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\;.}$$

口語的には、 Tと可換な射影はT を「対角化」します。

上記の例が示すように、与えられた線型変換Tの不変部分空間はTの構造を明らかにします。V が代数的に閉じた体上の有限次元ベクトル空間である場合、 Vに作用する線型変換は(相似性を除いて)ジョルダン標準形によって特徴付けられ、これはV をTの不変部分空間に分解します。 Tに関する多くの基本的な質問は、Tの不変部分空間に関する質問に変換できます。

VのT不変部分空間の集合は、 Tの不変部分空間格子とも呼ばれ、Lat( T )と表記されます。名前が示すように、これは (モジュラー)格子であり、交わりと結合は(それぞれ)集合の交差と線型スパンで与えられます。Lat ( T )の極小元は極小不変部分空間と呼ばれることがあります。

無限次元演算子の研究では、Lat( T )は閉じた不変部分空間 のみに制限されることがあります。

演算子の集合Tが与えられたとき、部分空間が各T ∈ Tに対して不変である場合、その部分空間はT不変であると呼ばれます。

単一演算子の場合と同様に、Tの不変部分空間格子（Lat( T )と表記）は、すべてのT不変部分空間の集合であり、同じ会合および結合演算を持つ。集合論的には、それは交差である。$${\displaystyle \mathrm {Lat} ({\mathcal {T}})=\bigcap _{T\in {\mathcal {T}}}{\mathrm {Lat} (T)}{\text{.}}}$$

End( V )をV上のすべての線形演算子の集合とします。このとき、Lat(End( V ))={0, V }となります。

ベクトル空間V上の群Gの表現が与えられると、 Gのすべての元gに対して線型変換T ( g ) : V → Vが成り立ちます。 Vの部分空間W がこれらすべての変換に対して不変であれば、それは部分表現であり、群G はWに自然な形で作用します。同じ構成が代数の表現にも当てはまります。

別の例として、T ∈ End( V )とΣ を{1, T }によって生成される代数と します 。ここで、1 は恒等演算子です。このとき、Lat( T ) = Lat(Σ) となります。

代数の基本定理が有限次元複素ベクトル空間に作用するすべての線形変換が非自明な不変部分空間を持つことを保証するのと同様に、非可換代数の基本定理は、Lat(Σ) が特定の Σ に対して非自明な元を含むことを主張します。

1つの結果として、L ( V )内のすべての可換族は同時に上三角化できる。これを確認するには、上三角行列表現が不変部分空間の旗に対応し、可換族が可換代数を生成すること、およびdim( V )≥2のときにEnd( V )が可換ではないことに留意してください。

Aが代数ならば、 A上の左正規表現Φを定義できる。Φ( a ) b = abはAからL ( A )への準同型であり、 A上の線型変換代数である。

Φ の不変部分空間はまさにAの左イデアルです。 Aの左イデアルM はM上のAの部分表現を与えます。

M がAの左イデアルである場合、 M上の左正規表現 Φ は、商ベクトル空間A / M上の表現 Φ' に降下します。[ b ] がA / Mの同値類を表す場合、 Φ'( a )[ b ] = [ ab ] です。表現 Φ' の核は、集合 {すべてのbに対してa ∈ A | ab ∈ M } です。

表現 Φ' が既約となるのは、M が最大左イデアルである場合に限ります。これは、部分空間V ⊂ A / Mが {Φ'( a ) | a ∈ A }の下で不変となるのは、その商写像V + Mの下での逆像がAの左イデアルである場合に限ります。

不変部分空間問題は、 V が次元 > 1 の複素数上の可分ヒルベルト空間であり、Tが有界演算子である場合に関係します。問題は、そのようなT のすべてに、非自明で閉じた不変部分空間がある かどうかを判断することです。これは未解決です。

V がバナッハ空間であると仮定されるより一般的なケースでは、Per Enflo (1976) は不変部分空間を持たない演算子の例を見つけました。不変部分空間を持たない演算子の具体的な例は、1985 年にCharles Readによって示されました。

不変部分空間に関連するのは、いわゆるほぼ不変半空間 ( AIHS ) です。バナッハ空間の閉部分空間は、ある有限次元部分空間 に対して である場合、演算子 の下でほぼ不変であるといわれます。同様に、となる有限階数演算子がある場合、つまり が の下で(通常の意味で) 不変である場合、の下でほぼ不変です。この場合、 の(または の階数) の最小可能次元は欠陥と呼ばれます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle TY\subseteq Y+E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle (T+F)Y\subseteq Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T+F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

明らかに、すべての有限次元および有限余次元部分空間は、すべての演算子の下でほぼ不変です。したがって、物事を非自明にするために、無限次元および無限余次元を持つ閉じた部分空間であるときはいつでも、半空間であると言います。 ${\displaystyle Y}$

AIHS 問題は、すべての演算子が AIHS を許容するかどうかを問うものです。複素数の設定では、すでに解決されています。つまり、が複素無限次元バナッハ空間である場合、最大で 1 の欠陥を持つ AIHS を許容します。が実バナッハ空間である場合に同じことが成り立つかどうかは現在わかっていません。ただし、いくつかの部分的な結果は確立されています。たとえば、無限次元実ヒルベルト空間上の任意の自己随伴演算子はAIHS を許容し、実無限次元反射空間に作用する任意の厳密に特異な (またはコンパクトな) 演算子も同様です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

• 不変多様体
• ロモノソフの不変部分空間定理

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