欠陥マトリックス

線形代数 において、欠陥行列とは、固有ベクトルの完全な基底を持たない正方行列であり、したがって対角化できない行列である。特に、${\displaystyle n\times n}$マトリックスが欠陥を持つのは、それが${\displaystyle n}$線形独立な固有ベクトル。^{[ 1 ]}完全基底は、欠陥のある常微分方程式系やその他の問題を解くために必要な一般化固有ベクトルで固有ベクトルを拡張することによって形成されます。

1${\displaystyle n\times n}$欠陥マトリックスは常に以下${\displaystyle n}$異なる固有値は常に線形独立な固有ベクトルを持つため、異なる固有値は異なる固有値を持つ。特に、欠陥行列は 1 つ以上の固有値を持つ。${\displaystyle \lambda }$代数的重複度を持つ${\displaystyle m>1}$（つまり、特性多項式の多重根である）が、より少ない。${\displaystyle m}$線形独立な固有ベクトル${\displaystyle \lambda }$代数的重複度が${\displaystyle \lambda }$幾何学的多重度（つまり、線形独立な固有ベクトルの数）を超える${\displaystyle \lambda }$）、 それから${\displaystyle \lambda }$は欠陥固有値であると言われている。^{[ 1 ]}しかし、代数的重複度を持つすべての固有値は${\displaystyle m}$いつもそうだった${\displaystyle m}$線形独立な一般化固有ベクトル。

実対称行列、より一般的にはエルミート行列、およびユニタリ行列は決して欠陥行列ではありません。より一般的には、正規行列（エルミート行列とユニタリ行列を特殊な場合として含む）は決して欠陥行列ではありません。

任意の非自明なジョーダンブロック$2×2$またはそれ以上（つまり、完全に対角ではない）は欠陥がある。（対角行列は、すべての自明なジョルダンブロックがサイズであるジョルダン標準形の特殊なケースである。）${\displaystyle 1\times 1}$（欠陥がない。）例えば、${\displaystyle n\times n}$ジョーダンブロック

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

固有値を持つ、${\displaystyle \lambda }$代数的重複度を持つ${\displaystyle n}$（または、同じ固有値を持つ他のジョルダンブロックが存在する場合はそれ以上）だが、固有ベクトルは1つだけである。${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$、 どこ${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$その他の正準基底ベクトル${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$次のような一般化固有ベクトルの連鎖を形成する。${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$のために${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$。

欠陥のある行列には非自明なジョルダン標準形が存在し、それはそのような行列の対角化に最も近いものである。

欠陥のあるマトリックスの簡単な例は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

固有値は3が2つあるが、固有ベクトルは1つだけである。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

（およびその定数倍）。

• ジョルダン標準形– 行列の固有値とその代数的重複度を示す形式 

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd  ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• ストラング、ギルバート（1988）。線形代数とその応用（第3 版）。サンディエゴ：ハーコート。ISBN 978-970-686-609-7。