意味
有界線形作用素 バナッハ空間 上の有界線形作用素 A の文脈では、固有値は作用素のスペクトル の要素、すなわち値に置き換える必要があります。λ {\displaystyle \lambda } A − λ 私 {\displaystyle A-\lambda I}
σ （ A ） = { λ ∈ C : A − λ 私 全単射ではない } {\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{は全単射ではない}}\right\}} スペクトル半径は、スペクトルの要素の振幅の最大値として定義される。
ρ （ A ） = すする λ ∈ σ （ A ） | λ | {\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |} ゲルファントの公式（スペクトル半径の公式とも呼ばれる）は、有界線形作用素に対しても成り立つ。‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 演算子ノルム を表すと、次のようになる。
ρ （ A ） = リム k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k = 情報 k ∈ N * ‖ A k ‖ 1 k 。 {\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} （複素ヒルベルト空間上の）有界作用素は、そのスペクトル半径が数値半径と一致する場合、 スペクトルロイド作用素 と呼ばれます。そのような作用素の例として、正規作用素 があります。
グラフ 有限グラフ のスペクトル半径は、その隣接行列 のスペクトル半径として定義される。
この定義は、頂点の次数が制限されている無限グラフの場合にも適用されます（つまり、グラフのすべての頂点の次数がCより小さい実数 C が存在します）。この場合、グラフG に対して、次のように定義します。
ℓ 2 （ G ） = { f : V （ G ） → R : ∑ v ∈ V （ G ） ‖ f （ v ） 2 ‖ < ∞ } 。 {\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.} G の隣接演算子をγ とする。
{ γ : ℓ 2 （ G ） → ℓ 2 （ G ） （ γ f ） （ v ） = ∑ （ u 、 v ） ∈ E （ G ） f （ u ） {\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}} G のスペクトル半径は、有界線形演算子γ のスペクトル半径として定義される。
上限値
行列のスペクトル半径の上限 以下の命題は、行列のスペクトル半径に対する単純かつ有用な上限値を与える。
命題。 スペクトル半径ρ ( A ) と劣乗法行列ノルム ||⋅||を持つ C n × n のA ∈k ⩾ 1 {\displaystyle k\geqslant 1}
ρ （ A ） ≤ ‖ A k ‖ 1 k 。 {\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} 証拠
行列Aの 固有ベクトル と固有値のペアを ( v , λ ) とする。行列ノルムの乗法性の不等式により、次の式が得られる。
| λ | k ‖ v ‖ = ‖ λ k v ‖ = ‖ A k v ‖ ≤ ‖ A k ‖ ⋅ ‖ v ‖ 。 {\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.} v ≠ 0
| λ | k ≤ ‖ A k ‖ {\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|} そのため
ρ （ A ） ≤ ‖ A k ‖ 1 k 。 {\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} 証明の完了。
グラフのスペクトル半径の上限 グラフのスペクトル半径には、頂点の数n と辺の数m に関して多くの上限値が存在する。例えば、
（ k − 2 ） （ k − 3 ） 2 ≤ m − n ≤ k （ k − 3 ） 2 {\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}} どこ3 ≤ k ≤ n {\displaystyle 3\leq k\leq n} [ 2 ]
ρ （ G ） ≤ 2 m − n − k + 5 2 + 2 m − 2 n + 9 4 {\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}
パワーシーケンス スペクトル半径は、行列のべき乗数列の収束挙動と密接に関係しており、次の定理で示されるとおりである。
定理。 スペクトル半径ρ ( A )を持つ C n × n のA ∈ρ ( A ) < 1と なるのは、以下の条件を満たす場合のみである。
リム k → ∞ A k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.} 一方、ρ ( A ) > 1 のリム k → ∞ ‖ A k ‖ = ∞ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty } この記述は、 C n × n
証拠
と仮定するA k {\displaystyle A^{k}} k {\displaystyle k} 無限大に発散する。ρ ( A ) < 1 で ある こと 固有ベクトル と固有値の ペア を( v , λ ) とする。A k v = λ k v
0 = （ リム k → ∞ A k ） v = リム k → ∞ （ A k v ） = リム k → ∞ λ k v = v リム k → ∞ λ k {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}} 仮定によりv ≠ 0
リム k → ∞ λ k = 0 、 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,} これは、| λ | < 1 {\displaystyle |\lambda |<1} λ {\displaystyle \lambda } ρ ( A ) < 1
ここで、 A の半径が1 未満であると仮定します。ジョルダン標準形の 定理から、すべてのA ∈ C n × n V が非特異行列でJ が ブロック対角行列であるようなV 、J ∈ C n × nが存在し、次の式が成り立つことがわかります。
A = V J V − 1 {\displaystyle A=VJV^{-1}} と
J = [ J m 1 （ λ 1 ） 0 0 ⋯ 0 0 J m 2 （ λ 2 ） 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 J m s − 1 （ λ s − 1 ） 0 0 ⋯ ⋯ 0 J m s （ λ s ） ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}} どこ
J m 私 （ λ 私 ） = [ λ 私 1 0 ⋯ 0 0 λ 私 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ 私 1 0 0 ⋯ 0 λ 私 ] ∈ C m 私 × m 私 、 1 ≤ 私 ≤ s 。 {\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.} 容易にわかるように
A k = V J k V − 1 {\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}} また、J はブロック対角行列であるため、
J k = [ J m 1 k （ λ 1 ） 0 0 ⋯ 0 0 J m 2 k （ λ 2 ） 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 J m s − 1 k （ λ s − 1 ） 0 0 ⋯ ⋯ 0 J m s k （ λ s ） ] {\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}} さて、 k 乗の標準的な結果m 私 × m 私 {\displaystyle m_{i}\times m_{i}} k ≥ m 私 − 1 {\displaystyle k\geq m_{i}-1}
J m 私 k （ λ 私 ） = [ λ 私 k （ k 1 ） λ 私 k − 1 （ k 2 ） λ 私 k − 2 ⋯ （ k m 私 − 1 ） λ 私 k − m 私 + 1 0 λ 私 k （ k 1 ） λ 私 k − 1 ⋯ （ k m 私 − 2 ） λ 私 k − m 私 + 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ 私 k （ k 1 ） λ 私 k − 1 0 0 ⋯ 0 λ 私 k ] {\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}} したがって、もしρ （ A ） < 1 {\displaystyle \rho (A)<1} は | λ 私 | < 1 {\displaystyle |\lambda _{i}|<1} i について、次のことが成り立ちます。
リム k → ∞ J m 私 k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0} これは、
リム k → ∞ J k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.} したがって、
リム k → ∞ A k = リム k → ∞ V J k V − 1 = V （ リム k → ∞ J k ） V − 1 = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0} 一方、もしρ （ A ） > 1 {\displaystyle \rho (A)>1} Jの中に存在し、 kが 増加するにつれて有界のままではなくなるため、この命題の後半部分が証明される。
イスラエル・ゲルファンド にちなんで名付けられたゲルファンドの公式は、行列ノルムの極限としてスペクトル半径を与える。
証拠 任意のε > 0
A ± = 1 ρ （ A ） ± ε A 。 {\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.} したがって、
ρ （ A ± ） = ρ （ A ） ρ （ A ） ± ε 、 ρ （ A + ） < 1 < ρ （ A − ） 。 {\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).} まず、冪数列の極限に関する前述の定理をA +
リム k → ∞ A + k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.} これは、すべてのk ≥ N + N + ∈ N
‖ A + k ‖ < 1. {\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.} したがって、
‖ A k ‖ 1 k < ρ （ A ） + ε 。 {\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .} 同様に、冪数列に関する定理は、‖ A − k ‖ {\displaystyle \|A_{-}^{k}\|} は有界ではなく、すべてのk ≥ N − N − ∈ N
‖ A − k ‖ > 1. {\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.} したがって、
‖ A k ‖ 1 k > ρ （ A ） − ε 。 {\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .} N = max{ N + , N −
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ k ≥ N ρ （ A ） − ε < ‖ A k ‖ 1 k < ρ （ A ） + ε 、 {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,} つまり、
リム k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k = ρ （ A ） 。 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).} これで証明は完了です。
系 ゲルファントの公式は、可換行列の積のスペクトル半径の上限を与える。A 1 、 … 、 A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
ρ （ A 1 ⋯ A n ） ≤ ρ （ A 1 ） ⋯ ρ （ A n ） 。 {\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}
数値例 3つの行列ノルムすべてがスペクトル半径に収束する。 行列を考える
A = [ 9 − 1 2 − 2 8 4 1 1 8 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}} 固有値は5、10、10 であり、定義によりρ ( A ) = 10‖ A k ‖ 1 k {\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}} ‖ 。 ‖ 1 = ‖ 。 ‖ ∞ {\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}
注釈と参考文献 ↑ Gradshteĭn, IS (1980). Table of integrals, series, and products . IM Ryzhik, Alan Jeffrey (Corr. and enl. ed.). New York: Academic Press. ISBN 0-12-294760-6 OCLC 5892996 ↑ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "グラフのスペクトル半径のシャープな上限" . Discrete Mathematics . 342 (9): 2559– 2563. doi : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497 . ↑ この公式は任意のバナッハ環に対して成り立つ。 ダンフォードと シュワルツの1963年 の補題IX.1.8、およびラックス2002年、 195～197 ページを参照。
参考文献 Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963)、線形作用素 II. スペクトル理論: ヒルベルト空間における自己共役作用素 、Interscience Publishers, Inc. ラックス、ピーター・D. (2002)、関数解析 、ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-55604-1 
