逆多項式

代数学では、多項式が与えられた場合

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

任意の体からの係数を持つ、その逆多項式または反射多項式、^{[ 1 ] [ 2 ]} p ^∗またはp ^Rで表され、^{[ 2 ] [ 1 ]}は多項式^{[ 3 ]です。}

${\displaystyle p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).}$

つまり、p ^{∗の係数は}pの係数を逆順にしたものです。逆多項式は、線形代数において行列の逆行列の特性多項式として自然に現れます。

体が複素数である場合、

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},}$

共役逆多項式（ p ^†と表記）は、次のように定義される。

${\displaystyle p^{\dagger }(z)={\overline {a_{n}}}+{\overline {a_{n-1}}}z+\cdots +{\overline {a_{0}}}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}},}$

どこ${\displaystyle {\overline {a_{i}}}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle a_{i}}$また、混乱が生じない場合は逆多項式とも呼ばれます。

多項式pは、 p ( x ) = p ^∗ ( x )の場合、自己逆数または回文数と呼ばれます。自己逆数多項式の係数は、すべてのiに対してa _i = a _{n − i}を満たします。

逆多項式は、元の多項式と以下のようないくつかの関連性を持っています。

1. deg p = deg p ^∗ if${\displaystyle a_{0}}$0ではありません。
2. p ( x ) = x ⁿ p ^∗ ( x ⁻¹ ) . ^{[ 2 ]}
3. αが多項式pの根であるのは、 α ^−1がp ^∗の根である場合、または${\displaystyle \alpha =0}$そして${\displaystyle p^{*}}$より低い度数である${\displaystyle p}$[ ^{4 ]​}
4. x ∤ p ( x )ならば、 pが既約であるのは、 p ^{∗ が}既約である場合に限る。^{[ 5 ]}
5. pが原始的であるのは、 p ^∗が原始的である場合に限る。 ^{[ 4 ]}

逆数多項式のその他の性質としては、例えば以下のようなものがある。

• 奇数次の自己逆多項式は x+1 で割り切れるため、次数が 1 より大きい場合は既約ではない。

自己相反多項式は、係数を昇順または降順で並べたときに回文を形成するため、回文とも呼ばれます。つまり、

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

が次数nの多項式である場合、i = 0, 1, ..., nに対してa _i = a _{n − i}であれば、 Pは回文である。

同様に、次数nの多項式Pは、 i = 0, 1, ..., nに対してa _i = − a _{n − i}である場合、反回文であると呼ばれます。つまり、多項式Pは、 P ( x ) = – P ^∗ ( x )である場合に反回文です。

多項式が共役逆数であるとは、${\displaystyle p(x)\equiv p^{\dagger }(x)}$そして自己反転である場合${\displaystyle p(x)=\omega p^{\dagger }(x)}$単位円上のスケールファクターωの場合。^{[ 11 ]}

p ( z )が| _z₀ | = ₁、z₀ ≠1_を満たすz₀の最小多項式であり、p ( z )の係数が実数であるならば、p ( z )は共役逆数である。これは次の理由から導かれる。

${\displaystyle z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0.}$

したがって、z ₀は多項式の根である${\displaystyle z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$次数がnである。しかし、最小多項式は一意であるため、

${\displaystyle cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$

ある定数cに対して、すなわち${\displaystyle ca_{i}={\overline {a_{ni}}}=a_{ni}}$i = 0からnまで合計し、1 はpの根ではないことに注意してください。c = 1と結論付けます。

その結果、円分多項式Φ _{n は}n > 1に対して共役逆数となります。これは、特別な数体篩において、 x ¹¹ ± 1、x ¹³ ± 1、x ¹⁵ ± 1、x ²¹ ± 1の形式の数を、それぞれ次数 5、6、4、6 の多項式を用いて代数因子を利用して因数分解するために利用されます。なお、指数のφ (オイラーのトーシェント関数) は 10、12、8、12 です。

コーンの定理によれば、自己反転多項式は単位円盤内に同数の根を持つ。${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} を その導関数の逆多項式として定義する。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

逆多項式は、巡回誤り訂正符号の理論で利用されています。x ⁿ − 1 が2 つの多項式の積に因数分解できると仮定します。例えば、x ⁿ − 1 = g ( x ) p ( x )とします。 g ( x ) が巡回符号Cを生成する場合、逆多項式p ^{∗ は}Cの直交補数であるC ^⊥を生成します。^{[ 14 ]} また、Cが自己直交である(つまり、C ⊆ C ^⊥ )のは、 p ^{∗ が}g ( x )を割り切る場合のみです 。^{[ 15 ]}

• コーンの定理

• Pless, Vera (1990), 『誤り訂正符号理論入門』（第2 版）、ニューヨーク：Wiley-Interscience、ISBN 0-471-61884-5
• ローマン、スティーブン（1995）、『場の理論』、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-94408-7
• デュラン、エミール (1961)、「Masson et Cie: XV - Polynômes dont les係数、sont symétriques ou antisymétriques」、Solutions numériques des équations algrébriques、vol. I 、140–141 ページ 

• 「回文多項式の基本定理」MathPages.com
• ワイススタイン、エリック W. 「逆多項式」 . MathWorld .