固有ベクトル中心性

グラフ理論において、固有ベクトル中心性（固有中心性または威信スコア^[1]とも呼ばれる）は、接続されたネットワーク内のノードの影響力を測る尺度である。高スコアのノードへの接続は、低スコアのノードへの同等の接続よりも、問題のノードのスコアに大きく貢献するという概念に基づいて、ネットワーク内のすべてのノードに相対スコアが割り当てられる。高い固有ベクトルスコアは、ノードが、それ自体が高いスコアを持つ多くのノードに接続されていることを意味する。^{[2] [3]}

GoogleのPageRankとカッツ中心性は固有ベクトル中心性の変種である。^[4]

頂点を持つグラフが与えられている場合、 は隣接行列、つまり頂点 が頂点 にリンクされている場合は、それ以外の場合は とします。頂点 の相対中心性スコアは次のように定義できます。 ${\displaystyle G:=(V,E)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle A=(a_{v,t})}$${\displaystyle a_{v,t}=1}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{v,t}=0}$${\displaystyle x_{v}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle x_{v}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in M(v)}x_{t}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{t\in V}a_{v,t}x_{t}}$

ここで はの近傍集合であり、 は定数である。少し整理すると、これはベクトル表記で固有ベクトル方程式 として書き直すことができる。${\displaystyle M(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\lambda \mathbf {x} }$

一般に、非ゼロの固有ベクトル解が存在するさまざまな固有値 があります。ただし、連結性の仮定と、固有ベクトルのすべての要素が非負であるという追加要件は、（ペロン-フロベニウスの定理により）最大の固有値のみが目的の中心性尺度になることを意味します。^[5]関連する固有ベクトルの成分は、ネットワーク内の頂点の相対的な中心性スコアを与えます。固有ベクトルは共通因子までしか定義されないため、頂点の中心性の比率のみが明確に定義されます。絶対スコアを定義するには、たとえば、すべての頂点の合計が 1 または頂点の総数 nになるように、固有ベクトルを正規化する必要があります。べき乗反復法は、この主要な固有ベクトルを見つけるために使用できる多くの固有値アルゴリズムの 1 つです。^{[4]さらに、これを一般化して、} Aの要素を確率行列のように接続強度を表す実数にすることもできます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle v^{\text{th}}}$${\displaystyle v}$

GoogleのPageRank は、正規化された固有ベクトル中心性、または正規化された名声とランダムジャンプの仮定を組み合わせたものです。^[1]ノードの PageRank は、そのノードを指す他のノードの PageRank に再帰的に依存します。正規化された隣接行列は次のように定義されます。ここで はノードの出次数、またはベクトル形式では 次のように定義されます。${\displaystyle v}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle N(u,v)={\begin{cases}{1 \over \operatorname {od} (u)},&{\text{if }}(u,v)\in E\\0,&{\text{if }}(u,v)\not \in E\end{cases}}}$$${\displaystyle od(u)}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {diag} (\mathbf {Ae} )^{-1}\mathbf {A} }$、

ここで、は 1 のベクトル、 はベクトル の対角行列です。 は行確率行列です。 ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {diag} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$

正規化された固有ベクトル威信スコアは次のように定義されます。

${\displaystyle p(v)=\sum _{u}{N^{T}(v,u)\cdot p(u)},}$

またはベクトル形式では、

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {N} ^{T}\mathbf {p} .}$

固有ベクトル中心性は、ネットワーク上でのノードの影響力を測る尺度です。あるノードが多くのノード（固有ベクトル中心性も高い）に参照されている場合、そのノードの固有ベクトル中心性は高くなります。^[6]

固有ベクトル中心性は、 1895年にエドマンド・ランドウがチェストーナメントのスコアリングに関する論文で初めて使用されました。^{[7] [8]}

最近では、多くの分野の研究者が、さまざまな領域における固有ベクトル中心性の応用、現れ、拡張を分析しています。

• 固有ベクトル中心性は、ランキングシステムにおける特定の自然公理を満たす唯一の尺度である。 ^{[9] [10]}
• 神経科学では、モデルニューラルネットワーク内のニューロンの固有ベクトルの中心性は、その相対的な発火率と相関することがわかっています。 ^[6]
• 固有ベクトル中心性と関連概念は、DeGroot 学習モデルのように、社会学や経済学において意見の影響力をモデル化するために使用されてきました。
• 固有ベクトル中心性の定義は、汎用性の概念を通じて多重ネットワーク^{[11]や多層ネットワークに拡張されている[12]。}
• フィリピンのデータを用いた研究では、研究者らは、政治候補者の家族が地元の結婚ネットワークにおいて不釣り合いに高い固有ベクトル中心性を持っていることを示しました。^[13]
• 固有ベクトル中心性は、社会的ネットワークにおける協力を含む経済的成果の研究に広く応用されてきた。^{[14]経済的}公共財の問題では、ある人の固有ベクトル中心性は、その人の好みが効率的な社会的成果にどの程度影響を与えるかとして解釈することができる。^[15]

• 中心性