離散スペクトル（数学）

させて${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$バナッハ空間とする。部分的に定義された線形作用素を考える。${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ドメイン付き${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$ルート線${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$固有値に対応する${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$は要素の集合として定義される${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})x,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{2}x,\dots }$すべては${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$そして、有限回のステップを経て、最終的にゼロになる。${\displaystyle (A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0}$。

この集合は線形多様体ですが、必ずしも閉じているとは限りません。閉じている場合（例えば、有限次元の場合）、それは一般化固有空間と呼ばれます。${\displaystyle A}$固有値に対応する${\displaystyle \lambda }$。

固有値​${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$閉じた線形演算子の${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$バナッハ空間において${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ドメイン付き${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$正常（元の用語では、${\displaystyle \lambda }$以下の 2 つの条件が満たされる場合、正規に分割される有限次元ルート部分空間に対応します。 ^{[ 5 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. 代数的 重複度${\displaystyle \lambda }$有限である：${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty }$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$はルート線形です${\displaystyle A}$固有値に対応する${\displaystyle \lambda }$;
2. スペース${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$直接和に分解できる${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$、 どこ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$は不変部分空間である${\displaystyle A}$その中で${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$逆関数は有界である。

一般的に、リース射影演算子のランクはルート線形の次元よりも大きくなる可能性がある。${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }}$対応する固有値の、特に、${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty }$、${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$したがって、以下のものが含まれます。

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \{{\mbox{isolated points of the spectrum of }}A{\mbox{ with finite algebraic multiplicity}}\}.}$

特に、準冪零演算子の場合

${\displaystyle Q:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\qquad Q:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (0,a_{1}/2,a_{2}/2^{2},a_{3}/2^{3},\dots ),}$

1つは${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(Q)=\{0\}}$、${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$。 したがって、${\displaystyle \lambda =0}$これは有限代数的重複度を持つ孤立固有値であるが、離散スペクトルには含まれない。 ${\displaystyle \sigma (Q)=\{0\}}$、 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(Q)=\emptyset }$。

離散スペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$オペレーターの${\displaystyle A}$点スペクトルと混同してはならない${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(A)}$これは、の固有値の集合として定義される。${\displaystyle A}$離散スペクトルの各点は固有値であるため、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)\subset \sigma _{\mathrm {p} }(A).}$

しかし、それらは等しくない場合があります。固有値はスペクトルの孤立点ではない場合もあれば、孤立点であっても無限ランクのリース射影演算子を持つ場合もあります。たとえば、左シフト演算子の場合、 ${\displaystyle L:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} ),\quad L:\,(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\dots ),}$ 点スペクトルは開いた単位円盤である${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$複素平面において、全スペクトルは閉じた単位円盤である。${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$、そして離散スペクトルは空である。

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)=\mathbb {D} _{1},\qquad \sigma (L)={\overline {\mathbb {D} _{1}}},\qquad \sigma _{\mathrm {d} }(L)=\emptyset .}$

これは${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(L)}$孤立点はありません。

閉演算子のスペクトル${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$バナッハ空間において${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$これは、互いに素な2つの集合の和集合に分解できます。すなわち、離散スペクトルと、本質スペクトルの5番目のタイプです（各タイプの定義については、該当ページを参照してください）。

${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {d} }(A)\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}$