質量マトリックス

例えば、直線軌道上に閉じ込められた2つの点状質量からなる系を考えてみましょう。この系の状態は、2つの一般化座標、すなわち軌道に沿った2つの粒子の位置を表すベクトルqによって記述できます。

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

粒子の質量をm ₁、m ₂とすると、系の運動エネルギーは

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}}$

この式は次のように書くこともできます。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

より一般的には、インデックスi = 1, 2, …, Nでラベル付けされたN個の粒子のシステムを考えます。ここで、粒子番号iの位置はn _{i 個}の自由デカルト座標 ( n _i = 1, 2, 3 )で定義されます。qをこれらの座標すべてを含む列ベクトルとします。質量行列Mは対角ブロック行列であり、各ブロックの対角要素は対応する粒子の質量です。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} \left[m_{1}\mathbf {I} _{n_{1}},\,m_{2}\mathbf {I} _{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}\mathbf {I} _{n_{N}}\right]}$

ここで、I _{n i}はn _i × n _i単位行列、より正確には次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}}$

より複雑な例として、質量m ₁、m ₂を持つ 2 つの点状物体が、長さ2 Rの質量のない剛体棒の両端に取り付けられ、この集合体は固定された平面上を自由に回転および滑動できるとします。システムの 状態は、一般化座標ベクトルによって記述できます。

${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}}$

ここで、x、yは棒の中点のデカルト座標であり、αは任意の基準方向からの棒の角度である。2つの粒子の位置と速度は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}}$

そしてそれらの全運動エネルギーは

${\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}}$

どこ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$そして$d=m_1-m_2$この式は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}}$

なお、この行列は棒の現在の角度αに依存することに注意してください。