エルミート行列

正方行列${\displaystyle A}$は、その共役転置と等しい場合に限りエルミートである。つまり、任意のベクトルのペアに対して、${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$⁠、それは満たします $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$$ どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は複素座標空間における標準的な内積演算を表し、エルミート形式は次のように定義される。${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\mathbf {w} }$⁠ .

これは、より一般的な概念である自己共役演算子の定義方法でもある。

1${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$エルミートであるのは、 $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad {\text{すべての }}\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n} に対して}$$

正方行列は、実固有値を持つユニタリ対角化可能である場合に限り、エルミート行列である。

エルミート行列の主対角線（左上から右下）の要素は実数です。

主対角成分のみが必ず実数である必要があり、エルミート行列は、対角成分が複素共役である限り、非対角成分として任意の複素数値を持つことができる。

エルミート行列は、その要素がすべて実数である場合に限り、対称行列である。対称実数行列は、エルミート行列の特殊な場合である。

すべてのエルミート行列${\displaystyle A}$は正規行列です。つまり、${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A}$⁠ .

有限次元スペクトル定理によれば、任意の⁠${\displaystyle n\times n}$エルミート行列​${\displaystyle A}$はユニタリ行列で対角化でき、結果として得られる対角行列は実数成分のみを持つ。つまり、次のようになる。

• のすべての固有値${\displaystyle A}$⁠は実在する。 ^{[ a ]}
• ⁠${\displaystyle A}$⁠持っている⁠${\displaystyle n}$線形独立な固有ベクトル;
• ⁠${\displaystyle A}$異なる固有値に対して直交する固有ベクトルを持つ。
• たとえ​${\displaystyle A}$は縮退した固有値(*)を持つため、常に直交基底を見つけることが可能です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$から構成される⁠${\displaystyle n}$の固有ベクトル​${\displaystyle A}$⁠ ;
• そうすれば、これらの固有ベクトルを正規化することは常に可能である。

(*) 退化固有値とは、複数の固有ベクトルを持つ固有値のことです。

任意の2つのエルミート行列の和はエルミート行列である。

可逆なエルミート行列の逆行列もまたエルミート行列である。

2つのエルミート行列の積${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は、次の場合に限りエルミートである。${\displaystyle AB=BA}$⁠ .

結果: 行列が${\displaystyle A}$はエルミート行列であり、任意の整数に対して⁠${\displaystyle k\geq 0}$⁠、${\displaystyle A^{k}}$エルミート行列である。

2つの行列の場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$エルミートである場合、${\displaystyle ABA}$エルミート行列でもある。

行列の場合⁠${\displaystyle A}$⁠がエルミートである場合、関数はエルミート形式（対称セスキリニア形式とも呼ばれる）を定義します。$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} .}$$ 逆に、すべてのエルミート形式は、何らかのエルミート行列で表すことができる。${\displaystyle A}$エルミート形式とは、2 つのベクトル引数の複素数値関数であり、一方の引数に対して線形、もう一方の引数に対して反線形であり、引数を交換すると結果の複素共役が得られるものです。つまり、任意のベクトルに対して、${\displaystyle \mathbf {u} }$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbf {w} }$⁠および任意の複素スカラー⁠${\displaystyle c}$⁠、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} &=\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} +\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&(c~\!\mathbf {u} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {c}}{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[3pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} +\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(c~\!\mathbf {v} )&=c{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[1pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {u} }}.\end{整列}}}$$

標準内積​${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\mathbf {v} }$複素座標空間では、単位行列に関連付けられたエルミート形式です。

任意のエルミート行列に対して${\displaystyle A}$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }$は実数です 。$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} ={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }}.}$$ これは量子物理学において特に重要であり、量子物理学ではエルミート行列はシステムの特性（例えば、全スピン）を測定する演算子であり、実数でなければならない。

エルミート複合体${\displaystyle n{\times }n}$行列は複素数上のベクトル空間を形成しない。${\displaystyle \mathbb {C} }$単位行列なので${\displaystyle I_{n}}$エルミートであるが、${\displaystyle iI_{n}}$そうではない。しかし、複素エルミート行列は実数上のベクトル空間を形成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . では⁠${\displaystyle 2n^{2}\!}$⁠ -複素数の次元ベクトル空間${\displaystyle n{\times }n}$行列⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$、複素エルミート行列は次元の部分空間を形成する。${\displaystyle n^{2}}$⁠ .

確かに、${\displaystyle E_{jk}}$⁠は${\displaystyle n{\times }n}$行列と⁠${\displaystyle 1}$⁠で⁠${\displaystyle j,k}$位置と他の場所の零点に関して、基底（フロベニウス内積に関して正規直交）は次のように記述できます。 $${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ 行列}})}$$ 行列の集合とともに、 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$ そして、次の形式の行列の集合 $${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right),}$$ どこ${\displaystyle i}$は虚数単位を表します（${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$⁠ )

例えば、4つのパウリ行列は、すべての複素数のベクトル空間の完全な基底を形成する。$2×2$エルミート行列​${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ .

もし${\displaystyle n}$正規直交固有ベクトル${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$エルミート行列の${\displaystyle A}$行列の列として選択され、記述される。${\displaystyle U}$⁠、次に の 1 つの固有値分解${\displaystyle A}$は $${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}},}$$ どこ${\displaystyle U}$はユニタリ行列です（つまり、${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}OU}$⁠ )、そして${\displaystyle \varLambda }$は対角行列で、${\displaystyle A}$⁠の固有値⁠​${\displaystyle \varLambda }$の対角線。したがって、のスペクトル分解は${\displaystyle A}$⁠は次のように書くこともできます $${\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}}}$$ （場所）${\displaystyle \mathbf {u} _{j}}$⁠は⁠${\displaystyle j}$⁠ の番目の列⁠${\displaystyle U}$⁠ )

を​${\displaystyle (j,k)}$⁠ -エントリは直接生成します $${\displaystyle A_{jk}=\sum _{\ell =1}^{n}\lambda _{\ell }U_{j\ell }{\overline {U_{k\ell }}}.}$$

例えば、$2×2$正規行列 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.}$$⁠${\displaystyle A}$の固有値は${\displaystyle \lambda _{1}=3}$そして​​${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$⁠ .

⁠${\displaystyle A}$これらの固有値に対応する可能性のある正規化固有ベクトルは次のとおりです 。$$\mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad {\text{および}}\quad \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\{\phantom {-}}1\end{bmatrix}}.}$$

だから​${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}$⁠、そこで $${\displaystyle U={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\phantom {-}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}},\quad \varLambda ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad U^{\mathsf {H}}=U^{-1}={\begin{bmatrix}{\phantom {-}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

この分解は次のようにも書ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\,\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\mathsf {H}}-1~\!\mathbf {u} _{2}\mathbf {u} _{2}^{\mathsf {H}}\\[2pt]&=3{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}-1\!{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\ファントム {-}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=3{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}-1\!{\begin{bmatrix}{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

を​${\displaystyle (1,1)}$例えば、-entry は直接以下を生成します 。$${\displaystyle A_{11}=3\,U_{11}{\overline {U_{11}}}-1~\!U_{12}{\overline {U_{12}}}=3\,\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}-1~\!\left|-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}=1.}$$

正規行列の特異値は、その行列の固有値の絶対値である。

エルミート行列${\displaystyle A}$固有値分解を持つ${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}$⁠、そこで${\displaystyle U}$はユニタリ行列（列は正規直交ベクトルであり、行も正規直交ベクトルである。上記を参照）であり、 の特異値分解である。${\displaystyle A}$は $${\displaystyle A=U\,|\varLambda |\operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}},}$$ どこ${\displaystyle |\varLambda |}$そして${\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )}$それぞれ絶対値を含む対角行列である${\displaystyle |\lambda _{i}|}$そして標識${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda _{i})}$の⁠${\displaystyle A}$の固有値。行列${\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}}}$はユニタリです。${\displaystyle U^{\mathsf {H}}}$乗算されるのは⁠${\displaystyle \pm 1}$マトリックス​${\displaystyle |\varLambda |}$の特異値を含む${\displaystyle A}$すなわち、の絶対値${\displaystyle A}$の固有値（なぜなら）${\displaystyle A}$⁠は正常です）。 ^{[ 8 ]}

エルミート行列の行列式は実数である。