音波

音響波動方程式は音波の伝播を記述する。一次元における音圧の音響波動方程式は次のように表される。 $${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$$ どこ

• ${\displaystyle p}$音圧はPaで表されます。
• ${\displaystyle x}$波の伝播方向における位置（メートル単位）
• ${\displaystyle c}$音速（ m /s）
• ${\displaystyle t}$時間はsです

粒子速度に関する波動方程式は同じ形状であり、次のように表される。 $${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=0}$$ どこ

• ${\displaystyle u}$粒子速度はm/sで表されます。

損失のある媒体の場合、周波数依存の減衰と位相速度を考慮するために、より複雑なモデルを適用する必要があります。このようなモデルには、分数階微分項を組み込んだ音響波動方程式が含まれます。音響減衰に関する記事も参照してください。

ダランベールは、損失のない波動方程式の一般解を与えた。音圧の場合、解は次のようになる。 $${\displaystyle p=R\cos(\omega t-kx)+(1-R)\cos(\omega t+kx)}$$ どこ

• ${\displaystyle \omega }$角周波数はrad/sです。
• ${\displaystyle t}$時間はsです
• ${\displaystyle k}$は波数（rad・m⁻¹ ^）です。
• ${\displaystyle R}$単位のない係数です

のために${\displaystyle R=1}$波は右方向に移動する進行波となる。${\displaystyle R=0}$波は左方向に移動する進行波となる。定常波は次のようにして得られる。${\displaystyle R=0.5}$。

進行波では、圧力と粒子速度は同位相であり、つまり、2つの量の間の位相角はゼロである。

これは理想気体の法則を用いて容易に証明できる。$${\displaystyle pV=nRT}$$ どこ

• ${\displaystyle p}$圧力はPaで表されます
• ${\displaystyle V}$体積はm³^です
• ${\displaystyle n}$モル単位の量
• ${\displaystyle R}$は普遍気体定数で、その値は${\textstyle 8.314\,472(15)~{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol~K} }}}$

体積を考える${\displaystyle V}$音波が体積内を伝播するにつれて、断熱圧縮と膨張が発生します。断熱変化の場合、体積と次の関係が成り立ちます。${\displaystyle V}$流体の塊と圧力${\displaystyle p}$保持する $${\displaystyle {\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ どこ${\displaystyle \gamma }$は単位なしの断熱指数で、添え字は${\displaystyle m}$は、それぞれの変数の平均値を表します。

音波が体積内を伝播するにつれて、粒子の水平方向の変位は${\displaystyle \eta }$波の伝播方向に沿って発生する。 $${\displaystyle {\partial \eta \over V_{m}}A={\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ どこ

• ${\displaystyle A}$断面積はm²単位です^。

この式から、圧力が最大になると、粒子の平均位置からの変位がゼロになることがわかる。前述のように、右向きに進行する波の振動圧力は次のように表される。 $${\displaystyle p=p_{0}\cos(\omega t-kx)}$$ 圧力がゼロのときに変位が最大になるため、位相差は 90 度となり、変位は次のように表されます。 $${\displaystyle \eta =\eta _{0}\sin(\omega t-kx)}$$ 粒子の速度は、粒子の変位の一次導関数である。${\displaystyle u=\partial \eta /\partial t}$正弦関数の微分は再び余弦関数になる。 $${\displaystyle u=u_{0}\cos(\omega t-kx)}$$

断熱変化中、圧力とともに温度も変化する。 $${\displaystyle {\partial T \over T_{m}}={\gamma -1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$この事実は、熱音響学 の分野で活用されている。

音波の伝播速度、すなわち音速は、伝播媒体の関数である。一般に、音速cはニュートン・ラプラス方程式で与えられる。 $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {C}{\rho }}}}$$ どこ

• Cは剛性係数、体積弾性率(または気体媒体の場合は体積弾性率) であり、
• ${\displaystyle \rho }$密度はkg/m³^です。

したがって、音速は材料の剛性（弾性体が加えられた力による変形に抵抗する度合い）とともに増加し、密度とともに減少します。一般的な状態方程式では、古典力学を用いると、音速は${\displaystyle c}$は $${\displaystyle c^{2}={\frac {\partial p}{\partial \rho }}}$$ と${\displaystyle p}$圧力と${\displaystyle \rho }$密度とは、断熱変化に関して微分を行った値である。

干渉とは、2つ以上の波が重なり合って新しい波形が生成される現象です。音波の干渉は、2つのスピーカーが同じ信号を送信する場合に観察できます。ある場所では建設的干渉が起こり、局所的な音圧が2倍になります。また別の場所では破壊的干渉が起こり、局所的な音圧がゼロパスカルになります。

定常波は、共振器内で発生する特殊な波の一種です。共振器内では、入射波と反射波が重なり合うことで定常波が発生します。定常波では、圧力と粒子速度は90度位相がずれています。

両端が閉じた管を共振器として考えます。共振器は、次の周波数で 固有モードを持ちます。$${\displaystyle f={\frac {Nc}{2d}}\qquad \qquad N\in \{1,2,3,\dots \}}$$ どこ

• ${\displaystyle c}$音速はm/sで表されます。
• ${\displaystyle d}$チューブの長さはメートル単位です。

両端では粒子の変位がないため、粒子の速度はゼロになります。しかし、入射波と反射波の干渉により、両端の圧力は2倍になります。圧力が最大で速度がゼロである両端では、90度の位相差が生じます。

音響進行波は固体表面で反射されることがある。進行波が反射されると、反射波は入射波と干渉し、近傍に定常波を生じる。その結果、近傍の局所的な圧力は2倍になり、粒子の速度はゼロになる。

減衰によって、反射波は反射体からの距離が大きくなるにつれてパワーが減少します。反射波のパワーが入射波のパワーに比べて減少すると、干渉も減少します。そして、干渉が減少すると、音圧と粒子速度の位相差も減少します。反射体から十分に離れた場所では、干渉はもはや存在しません。この距離を遠方場と呼ぶことができます。

反射量は反射係数によって表され、これは反射光強度と入射光強度の比である。 $${\displaystyle R={\frac {p_{\text{反射}}}{p_{\text{入射}}}}}$$

音波は吸収される。吸収量は吸収係数によって決まり、それは次式で表される。 $$\displaystyle \alpha =1-R^{2}}$$ どこ

• ${\displaystyle \alpha }$単位なしの吸収係数
• ${\displaystyle R}$は単位のない反射係数です

材料の吸音率は、しばしばデシベルで表される。

音波が不均質な媒質を伝搬すると、遭遇する不純物や異なる材料の層間の界面で回折を起こします。これは、ブラッグミラーにおける光の屈折、吸収、透過と非常によく似た現象です。周期的な媒質を伝搬する音波の概念は、音響メタマテリアル工学において大きな成功を収めています。^{[ 2 ]}

多層材料における音響吸収、反射、透過は、伝達行列法を用いて計算することができる。^{[ 3 ]}