せん断マッピング

飛行機の中で$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$水平せん断（またはx軸に平行なせん断）は、座標を持つ一般的な点を取る関数です。${\displaystyle (x,y)}$要点を言うと${\displaystyle (x+my,y)}$ここで、mは固定パラメータであり、せん断係数と呼ばれます。

このマッピングの効果は、すべての点をそのy座標に比例した量だけ水平方向に移動させることです。x軸より上にある点は、 m > 0の場合は右方向（xが増加する方向）に、 m < 0の場合は左方向に移動します。x軸より下にある点は逆方向に移動し、軸上の点は固定されたままです。

x軸に平行な直線はそのままの位置を保ちますが、その他のすべての直線は、 x軸との交点を中心に（様々な角度で）回転します。特に垂直線は、傾きを持つ斜線になります。${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$したがって、せん断係数mはせん断角のコタンジェントである。${\displaystyle \varphi }$前述の垂直線とx軸の間。右側の例では、正方形が30°傾いているため、せん断角は60°です。

点の座標が列ベクトル（2×1行列）として表される場合、せん断マッピングは2×2行列の乗算として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

線の垂直せん断（またはy軸に平行なせん断）も同様ですが、 xとyの役割が入れ替わります。これは、座標ベクトルに転置行列を乗算することに相当します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

垂直せん断は、 mの符号に応じて、 y軸の右側の点を上下に変位させます。垂直線は変化しませんが、他のすべての線は、 y軸との交点を中心に傾きます。特に水平線は、せん断角によって傾きます。${\displaystyle \varphi }$傾きmの直線になる。

典型的なせん断マトリックスは次の形式である。 $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

この行列は、第4次元の直交補空間に平行で、かつ基となるベクトル空間のx軸方向にせん断される。

x軸に平行なせん断によって、${\displaystyle x'=x+\lambda y}$そして${\displaystyle y'=y}$行列形式で表すと： $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

同様に、 y軸に平行なせん断は${\displaystyle x'=x}$そして${\displaystyle y'=y+\lambda x}$行列形式で表すと： $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

3D空間では、基本的なせん断は同様に1つの座標を別の座標の倍数だけ変化させ、3番目の座標は変化させません。たとえば、x軸に平行なせん断は${\displaystyle x'=x+\lambda y}$、${\displaystyle y'=y}$、 そして${\displaystyle z'=z}$。

行列形式で表すと： $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

より一般的に言えば、3D空間では、この行列はYZ平面を、次の3点を通る対角平面にせん断します。${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$${\displaystyle (\mu ,0,1)}$$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

せん断要素がどこに配置されていても、それはゼロ要素も含む歪対角要素となるため (すべての歪対角要素の長さは少なくとも 2 であるため)、その積はゼロのままで、行列式には寄与しないので、行列式は常に 1 になります。したがって、すべてのせん断行列には逆行列があり、その逆行列は単にせん断要素を反転させたせん断行列であり、逆方向のせん断変換を表します。実際、これは簡単に導出できるより一般的な結果の一部です。S がせん断要素 λ を持つせん断行列である場合、S nはせん断^要素が単にn λであるせん断行列です。したがって、せん断行列をn乗すると、そのせん断係数はn倍になります。

ベクトル空間Vと部分空間Wに対して、 Wを固定するせん断は、すべてのベクトルをWに平行な方向に移動させます。

より正確に言うと、V がWとW ′の直和である場合、ベクトルを次のように書きます。

${\displaystyle v=w+w'}$

それに応じて、典型的なせん断L固定Wは

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

ここで、MはW ′からWへの線形写像である。したがって、ブロック行列の観点から、 L は次のように表すことができる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$