スケーリング（ジオメトリ）

アフィン幾何学において、均一スケーリング（または等方性スケーリング^{[ 1 ]}）とは、あらゆる方向で同じスケール係数（等方性）でオブジェクトを拡大（増加）または縮小（減少）する線形変換です。均一スケーリングの結果は、 （幾何学的な意味で）元のオブジェクトと相似です。通常、スケール係数1が許容されるため、合同な形状も相似とみなされます。均一スケーリングは、例えば、写真の拡大縮小や、建物、車、飛行機などの縮尺模型の作成などで行われます。

より一般的なのは、各軸方向ごとに異なる拡大縮小係数を用いた拡大縮小です。拡大縮小係数の少なくとも1つが他の係数と異なる場合、非均一拡大縮小（異方性拡大縮小）となります。特殊なケースとして、一方向への拡大縮小または伸縮があります。非均一拡大縮小はオブジェクトの形状を変化させます。例えば、正方形が長方形に変化したり、正方形の辺が拡大縮小軸と平行でない場合は平行四辺形に変化したりします（軸と平行な線間の角度は保持されますが、すべての角度が保持されるわけではありません）。これは、例えば、遠くの看板を斜めから見た場合や、平面物体の影がそれに平行でない面に落ちる場合などに発生します。

スケールファクターが1より大きい場合、（均一または非均一の）スケーリングは拡大または拡張とも呼ばれます。スケールファクターが1より小さい正の数の場合、スケーリングは縮小または縮小とも呼ばれます。

最も一般的な意味では、スケーリングには、スケーリングの方向が直交していない場合も含まれます。また、1つ以上のスケールファクターがゼロに等しい場合（投影）、および1つ以上の負のスケールファクターの場合（-1による方向スケーリングは鏡映に相当します）も含まれます。

スケーリングは線形変換であり、相似変換（ある点を中心としたスケーリング）の特殊なケースです。ほとんどの場合、相似変換は非線形変換です。

スケールファクターとは、通常、ある量を拡大縮小または乗算する小数です。方程式y  = Cxにおいて、Cはxのスケールファクターです。Cはxの係数でもあり、 yとxの比例定数とも呼ばれます。例えば、距離を 2 倍にすると、距離のスケールファクターは 2 になります。一方、ケーキを半分に切ると、体積のスケールファクターが 1/2 のピースが得られます。その基本方程式は、元の像を元の像で割ったものです。

計測の分野では、計測器のスケールファクターは感度と呼ばれることがある。また、相似な2つの幾何学的図形における対応する2つの長さの比もスケールと呼ばれる。

スケーリングはスケーリング行列で表すことができます。オブジェクトをベクトルv = ( v _x , v _y , v _z ) でスケーリングするには、各点p = ( p _x , p _y , p _z ) にこのスケーリング行列を乗算する必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算を行うと期待通りの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\ p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}。}$

このような拡大縮小を行うと、物体の直径は拡大縮小係数の間の係数で変化し、面積は2つの拡大縮小係数の積の最小値と最大値の間の係数で変化し、体積は3つの拡大縮小係数の積で変化します。

スケーリングが均一であるのは、スケーリング係数がすべて等しい場合（v _x = v _y = v _z）に限られます。スケーリング係数のうち1つを除くすべてが1に等しい場合、方向性のあるスケーリングとなります。

v _x = v _y = v _z = kの場合、スケーリングにより任意の表面の面積はk ²倍に、任意の固体の体積はk ³倍に増加します。

コンピュータグラフィックスでよく用いられる射影幾何学では、点は同次座標を用いて表現されます。オブジェクトをベクトルv = ( v _x , v _y , v _z ) で拡大縮小するには、各同次座標ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1) に次の射影変換行列を乗算する必要があります。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

以下に示すように、乗算を行うと期待通りの結果が得られます。

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{ x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}。$

同次座標の最後の成分は他の3つの成分の分母と見なせるため、共通因子sによる均一スケーリング（均一スケーリング）は、このスケーリング行列を使用することで実現できます。

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

各ベクトルp = ( p _x , p _y , p _z , 1) に対して、

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

これは、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

ある点が与えられた場合${\displaystyle P(x,y)}$膨張はそれを点と関連付けます${\displaystyle P'(x',y')}$方程式を通して

${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$のために${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$。

したがって、関数が与えられた場合${\displaystyle y=f(x)}$拡大関数の式は

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

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• Roger Germundsson 著「2D スケーリングの理解」および「3D スケーリングの理解」 、 Wolfram Demonstrations Project。
• スケールファクター計算機