スクイーズマッピング

時空幾何学は従来、次のように展開されます。時空における「今ここ」として (0,0) を選択します。この中心イベントを左右に放射する光は、時空内の 2 つの線をたどります。これらの線は、(0,0) から離れたイベントに座標を与えるために使用できます。速度の小さい軌跡は、元のタイムライン (0, t ) に近づきます。このような速度は、ローレンツブーストと呼ばれるスクイーズ写像の下ではゼロ速度と見なすことができます。この洞察は、分割複素数乗算と、一対の光線に対応する対角基底の研究から得られます。形式的には、スクイーズは、異なる座標系でxyの形式で表現される双曲計量を保存します。相対性理論におけるこの応用は、1912 年にウィルソンとルイス^{[ 4 ]} 、ヴェルナー・グリューブ^{[ 5 ]} 、およびルイス・カウフマンによって指摘されました。^{[ 6 ]}さらに、ローレンツ変換のスクイーズマッピング形式は、グスタフ・ヘルグロッツ(1909/10) ^{[ 7 ]}がボルンの剛性について議論する際に使用し、ヴォルフガング・リンドラーが相対性理論の教科書でその特徴的な性質の証明に使用したことで普及した。^{[ 8 ]}

この文脈では、光学におけるローレンツ群とジョーンズ計算を結びつける記事でスクイーズ変換という用語が使われた。^{[ 9 ]}

流体力学において、非圧縮性流体の基本的な運動の一つは、不動の壁にぶつかる流れの分岐である。壁をy = 0軸で表し、 tを時間としてパラメータr = exp( t )とすると、初期流体状態にパラメータrを用いたスクイーズ写像を適用すると、 x = 0軸の左右に分岐する流れが得られる。同じモデルは、時間を逆方向に実行した場合に流体の収束を示す。実際、任意の双曲セクターの面積は、スクイーズに対して不変である。

双曲線流線を持つ流れの別のアプローチについては、「ポテンシャル流れ §  n = 2 のべき乗則」を参照してください。

1989年にオッティーノ^{[ 10 ]}は「線形等積二次元流」を次のように説明した。

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

ここで、Kは区間[ −1 , 1]に含まれる。流線は曲線に沿っている。

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant} }$

したがって、負のK は楕円に対応し、正のK は双曲線に対応し、スクイーズマッピングの長方形の場合はK = 1 に対応します。

ストッカーとホソイ^{[ 11 ]}は、コーナーフローに対する彼らのアプローチを次のように説明した。

我々は、双曲座標の使用に基づき、角のような形状を考慮するための代替定式化を提案する。これにより、プラトー境界内の流れとそれに付着した液滴の決定に向けて、大幅な解析的進歩が可能となる。我々は、π /2 の角度を形成し、左右および下側が対称面によって区切られた流れの領域を考察する。

ストッカーとホソイは、モファット^{[ 12 ]}の「遠く離れた任意の擾乱によって誘発される、剛体境界間の隅における流れ」についての考察を想起する。ストッカーとホソイによれば、

正方形の角にある自由流体の場合、モファットの（反対称）流れ関数は、双曲座標がこれらの流れを記述する自然な選択肢であることを示唆しています。

スクイーズ写像の面積保存特性は、超越関数である自然対数とその逆関数である指数関数の基礎を設定する際に応用される。

定義:セクター( a,b )は、( a , 1/ a )と( b , 1/ b )への中心光線によって得られる双曲セクターです。

補題：bc = adの場合、セクター( a,b ) をセクター( c,d ) に移動させるスクイーズ写像が存在する。

証明: パラメータr = c / aを取ると、( u,v ) = ( rx , y / r ) は ( a , 1/ a ) を ( c , 1/ c ) に、( b , 1/ b ) を ( d , 1/ d ) に写像します。

定理（グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサン1647）bc = adの場合、双曲線xy = 1 の漸近線に対する求積は、 aとbの間の面積とcとdの間の面積が等しくなります。

証明：面積が1/2の三角形（ 1 つの三角形は {(0,0), (0,1), (1,1)} とする）を足し引きする議論により、双曲扇形の面積が漸近線に沿った面積に等しいことが示される。そして、この定理は補題から導かれる。

定理（アルフォンス・アントニオ・デ・サラサ、 1649年）漸近線に対して測定した面積が等差数列で増加すると、漸近線への投影面積は等比数列で増加する。したがって、これらの面積は漸近線指数の対数となる。

例えば、(1,  1) から ( x ,  1/ x ) まで続く標準的な位置角の場合、「双曲線角が 1 に等しくなるのはいつか？」と問うことができます。答えは超越数x = eです。

r = eで圧縮すると、単位角は ( e ,  1/ e ) と ( ee ,  1/ ee ) の間の 1 に移動し、面積が 1 の扇形を形成します。等比数列

e、e ²、e ³、 ...、e ⁿ、 ...

各面積の合計で達成される漸近指数に対応する

1,2,3, ..., n ,...

これは典型的な等差数列A + ndであり、A = 0 およびd = 1 です。

ピエール・オシアン・ボネ（1867年）による定曲率曲面の研究に続き、ソフス・リー（1879年）は既知の擬球面から新しい擬球面を導出する方法を発見した。このような曲面はサイン・ゴルドン方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

どこ${\displaystyle (s,\sigma )}$は 2 つの主接線曲線の漸近座標であり、${\displaystyle \Theta }$それぞれの角度。Lieは、もし${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$がサイン・ゴルドン方程式の解である場合、次のスクイーズマッピング（現在はリー変換^{[ 13 ]}として知られている）は、その方程式の他の解を示します。^{[ 14 ]}

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

リー (1883) は、擬球面の他の 2 つの変換との関係に気付きました。^{[ 15 ]}バックルンド変換( 1883 年にアルベルト・ヴィクトル・バックルンドによって導入) は、リー変換とビアンキ変換 (1879 年にルイージ・ビアンキによって導入) の組み合わせと見なすことができます。このような擬球面の変換は、ガストン・ダルブー(1894)、^{[ 16 ]}ルイージ・ビアンキ(1894)、^{[ 17 ]}またはルーサー・プファーラー・アイゼンハルト(1909) ^{[ 18 ]}による微分幾何学の講義で詳細に議論されました。

TerngとUhlenbeck（2000）が指摘したように、リー変換（またはスクイーズマッピング）は光円錐座標に関してローレンツブーストに対応することが知られています。 ^{[ 13 ]}

ソフス・リーは、SGE [正弦ゴルドン方程式] がローレンツ変換に対して不変であることを観察した。光円錐座標に対応する漸近座標では、ローレンツ変換は${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$。

これは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}}$

ここで、k はボンディk計算におけるドップラー係数に対応し、ηはラピディティである。