非線形固有値問題

数学において、非線形固有問題（ひょうせんじょうほう、英: nonlinear eigenvalue problem）は、（通常の）固有値問題を、固有値に非線形に依存する方程式に一般化したものである。具体的には、次の形式の方程式を指す。

${\displaystyle M(\lambda )x=0,}$

ここで、はベクトル、 は数 の行列値関数です。 数は（非線形）固有値、ベクトルは（非線形）固有ベクトル、 は固有対 と呼ばれます。 行列は固有値 で特異です。 ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\lambda,x)}$${\displaystyle M(\lambda )}$${\displaystyle \lambda}$

数値線形代数の分野では、次のような定義が一般的に用いられる。^{[1] [2] [3] [4]}

とし、をスカラーを行列に写像する関数とする。スカラーは固有値と呼ばれ、 の場合、非ゼロベクトルは右固有ベクトルと呼ばれる。さらに、の場合、非ゼロベクトルは左固有ベクトルと呼ばれる。ここで、上付き文字はエルミート転置を表す。固有値の定義は と等価であり、 は行列式を表す。^[1]${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle M(\lambda )x=0}$${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle y^{H}M(\lambda )=0^{H}}$${\displaystyle ^{H}}$${\displaystyle \det(M(\lambda ))=0}$${\displaystyle \det()}$

関数は通常、（ある領域）の正則関数である必要があります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \オメガ}$

一般に、は線形マップになりますが、最も一般的なのは有限次元の、通常は正方行列です。 ${\displaystyle M(\lambda )}$

定義:となるようなが存在する場合、その問題は正則であるといわれる。そうでない場合は特異であるといわれる。^{[1] [4]}${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle \det(M(z))\neq 0}$

定義:固有値が代数的重複性を持つとは、 が について の 階微分が においてゼロでない最小の整数である場合を言う。を除いて となる式において 。 [ 1 ^{] [4]}${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \det(M(z))}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0}$${\displaystyle \left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0}$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,k-1}$

定義:固有値の幾何学的重複度 は、の零空間 の次元である。^{[1] [4]}${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle M(\lambda )}$

次の例は、非線形固有値問題の特殊なケースです。

• （通常の）固有値問題：${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda I.}$
• 一般化固有値問題:${\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda B.}$
• 二次固有値問題:${\displaystyle M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.}$
• 多項式固有値問題:${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.}$
• 有理固有値問題:は有理関数です。${\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),}$${\displaystyle r_{i}(\lambda )}$
• 遅延固有値問題:遅延と呼ばれるスカラーが与えられます。${\displaystyle M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },}$${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{m}}$

定義:を固有値対とします。ベクトルの組は、 に対してとなるとき、ジョルダン連鎖と呼ばれます。ここで、 は のに関する、 で評価された番目の導関数を表します。ベクトルは一般化固有ベクトルと呼ばれ、はジョルダン連鎖の長さと呼ばれ、 から始まるジョルダン連鎖の最大長はの階数と呼ばれます。^{[1] [4]}${\displaystyle (\lambda _{0},x_{0})}$${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,}$$${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$${\displaystyle M^{(k)}(\lambda _{0})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

定理: ^[1]ベクトルの組がジョルダン連鎖となるのは、関数が に根を持ち、その根がに対して少なくとも重複度を持つ場合のみである。ここで、ベクトル値関数は次のように定義される。${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )}$${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}$${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )}$$${\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.}$$

• 固有値ソルバーパッケージSLEPcには、非線形固有値問題に対する多くの数値解析法のC実装が含まれています。^[5]
• NLEVP非線形固有値問題コレクションは、さまざまな特性を持つ多くの非線形固有値問題を含むMATLABパッケージです。 ^[6]
• FEAST固有値ソルバーは、量子力学の密度行列表現と等高線積分技術を組み合わせて設計された、標準的な固有値問題と非線形固有値問題のためのソフトウェアパッケージです。^[7]
• MATLABツールボックスNLEIGSには、動的に構築された有理補間関数を備えた完全有理クリロフの実装が含まれています。^[8]
• MATLABツールボックスCORKには、線形化ペンシルのクロネッカー構造を利用したコンパクトな有理クリロフアルゴリズムの実装が含まれています。^[9]
• MATLABツールボックスAAA-EIGSには、集合値AAAによる有理近似によるCORKの実装が含まれています。^[10]
• MATLABツールボックスRKToolbox（Rational Krylov Toolbox）には、非線形固有値問題に対する有理クリロフ法の実装と有理近似の機能が含まれています。^[11]
• JuliaパッケージNEP-PACKには、非線形固有値問題に対するさまざまな数値手法の実装や、多くのベンチマーク問題が含まれています。^[12]
• Güttel & Tisseurのレビュー論文^[1]には、非線形固有値問題に対する基本的なニュートン型法と等高線積分法を実装したMATLABコードスニペットが含まれています。

固有ベクトル非線形性は、非線形性と関連しているが異なる形式で、研究されることがあります。この場合、関数はベクトルを行列にマッピングしたり、時にはエルミート行列をエルミート行列にマッピングします。^{[13] [14]}${\displaystyle M}$

• Françoise Tisseurおよび Karl Meerbergen、「二次固有値問題」、SIAM Review 43 (2)、235–286 (2001) (リンク)。
• Gene H. Golubと Henk A. van der Vorst、「20 世紀における固有値計算」、Journal of Computational and Applied Mathematics 123、35–65 (2000)。
• Philippe Guillaume、「Nonlinear eigenproblems」、SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20 (3)、575–595 (1999) (リンク)。
• セドリック・エフェンバーガー、「非線形固有値問題の堅牢な解法」、 EPFL博士論文(2013) (リンク)
• Roel Van Beeumen、「非線形固有値問題に対する有理クリロフ法」、博士論文KU Leuven (2015) (リンク)