せん断マッピング

平面幾何学において、せん断写像は、各点を、その方向に平行な特定の線からの符号付き距離に比例する量だけ、固定方向に変位させるアフィン変換である。 ^[1] このタイプの写像は、せん断変換、トランスベクション、または単にせん断とも呼ばれる。この変換は、せん断行列またはトランスベクション、つまり、1つの行または列の倍数を別の行または列に追加することを表す基本行列を使用して適用できる。このような行列は、単位行列を取り、ゼロ要素の1つをゼロ以外の値に置き換えること によって導出できる。

例として、座標を持つ任意の点を点 に導く線形マップがあります。この場合、変位は水平方向に 2 倍で、固定線はx軸、符号付き距離はy座標です。基準線の反対側にある点は、反対方向に変位することに注意してください。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+2y,y)}$

せん断マッピングを回転と混同しないでください。平面上の一連の点にせん断マッピングを適用すると、それらの間のすべての角度(直角を除く) と、変位の方向と平行でない線分の長さが変更されます。したがって、通常は幾何学図形の形状が歪みます。たとえば、正方形が平行四辺形に、円が楕円に変わります。ただし、せん断では幾何学図形の面積、および共線上の点の位置合わせと相対距離は保持されます。せん断マッピングは、文字の直立スタイルと斜体 (またはイタリック)スタイルの主な違いです。

同じ定義が3 次元幾何学でも使用されますが、距離は固定された平面から測定されます。3 次元せん断変換では、立体図形の体積は保持されますが、平面図形の面積は変更されます (変位に平行なものを除く)。この変換は、プレート間の流体の層流を記述するために使用されます。プレートは、最初のプレートの上方で最初のプレートと平行な平面内を移動します。

一般的なn次元直交空間 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$では、距離は変位の方向に平行な固定された超平面から測定されます。この幾何学的変換は、任意のセットのn次元の測度(超体積)を保存する⁠ ⁠の線形変換です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

平面 において、水平せん断（またはx軸に平行なせん断）は、座標を持つ一般的な点を点 まで取る関数です。ここで、m はせん断係数と呼ばれる固定パラメータです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+my,y)}$

このマッピングの効果は、すべての点を、そのy座標に比例した量だけ水平方向に移動することです。 x軸より上の点は、 m > 0の場合は右（xが増加）に移動し、 m < 0の場合は左に移動します。x軸より下の点は反対方向に移動し、軸上の点は固定されたままです。

x軸に平行な直線はそのままの位置に残りますが、他のすべての線はx軸と交差する点を中心に (さまざまな角度で) 回転します。特に垂直線は傾斜のある斜線になります。したがって、せん断係数m は、以前の垂直線とx軸の間のせん断角度のコタンジェントです。(右の例では、正方形が 30° 傾いているため、せん断角度は 60° です。) ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$ ${\displaystyle \varphi}$

点の座標が列ベクトル（2×1行列）として表される場合、せん断マッピングは2×2行列による 乗算として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

直線の垂直せん断（またはy軸に平行なせん断）も同様ですが、 xとyの役割が入れ替わります。これは、座標ベクトルに転置行列を掛けることに相当します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

垂直せん断は、 mの符号に応じて、y軸の右側の点を上または下に変位させます。垂直線は不変のままですが、他のすべての線はy軸と交わる点を中心に傾きます。特に水平線はせん断角度によって傾き、傾きmの線になります。 ${\displaystyle \varphi}$

2 つ以上のせん断変換を組み合わせることができます。

2つのせん断行列が${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

すると、それらの合成行列は 行列式 1 を持つため、面積は保存されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

特に、の場合、 ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

これは正定値行列です。

典型的なせん断マトリックスは次の形式である。 $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

この行列は、基になるベクトル空間の 4 番目の次元の方向に x軸と平行にずれます。

x軸に平行なせん断により、およびが生まれます。行列形式では、次のようになります。 ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

同様に、 y軸に平行なせん断は、およびを持ちます。行列形式では、次のようになります。 ${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+\lambda x}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

3D 空間では、この行列は YZ 平面を次の 3 つの点を通る対角平面に切断します。${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$ ${\displaystyle (\mu ,0,1)}$ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

行列式は常に 1 になります。せん断要素がどこに配置されていても、それはゼロ要素も含む斜め対角線のメンバーになるため (すべての斜め対角線の長さは少なくとも 2 であるため)、その積はゼロのままで、行列式には寄与しません。したがって、すべてのせん断行列には逆行列があり、逆行列は単にせん断要素が否定されたせん断行列であり、反対方向のせん断変換を表します。実際、これは簡単に導き出されるより一般的な結果の一部です。つまり、Sがせん断要素λを持つせん断行列である場合、S ⁿはせん断要素が単にn λであるせん断行列です。したがって、せん断行列をn乗すると、せん断係数がn倍になります。

Sがn × nせん断行列の場合、次のようになります。

• Sはランク nなので逆変換可能である
• 1はSの唯一の固有値なので、det S = 1、tr S = nとなる。
• Sの固有空間（固有値1に関連付けられている）はn − 1次元を持ちます。
• Sは欠陥がある
• Sは非対称です
• Sは最大1列の交換と1行の交換操作によってブロック行列にすることができる。
• 多面体の面積、体積、またはより高次の内部容量は、多面体の頂点のせん断変換に対して不変です。

ベクトル空間 Vと部分空間 Wに対して、せん断固定W はすべてのベクトルをWに平行な方向に平行移動します。

より正確に言うと、VがWとW′の直和であり、ベクトルを次のように書くと、

${\displaystyle v=w+w'}$

それに応じて、 Wを固定する典型的なせん断Lは

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

ここで、MはW′からWへの線形写像である。したがって、ブロック行列の用語では、 Lは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

ウィリアム・キングドン・クリフォードは、せん断マッピングの次の応用について言及しました。

「一連のハサミを使うと、直線で囲まれたあらゆる図形を等面積の三角形に縮小することができます。」

「...任意の三角形を直角三角形に切断しても、面積は変わりません。したがって、任意の三角形の面積は、同じ底辺を持ち、反対側の角度から底辺に下ろした垂線の高さに等しい長方形の面積の半分です。」^[2]

せん断写像の面積保存特性は、面積を含む結果に使用できます。たとえば、ピタゴラスの定理はせん断写像^[3]や関連する幾何平均定理で説明されています。

せん断行列はコンピュータグラフィックスでよく使用されます。^{[4] [5] [6]}

Alan W. Paethによるアルゴリズムは、 3 つのせん断マッピング(水平、垂直、再び水平)のシーケンスを使用して、デジタル画像を任意の角度で回転します。このアルゴリズムは実装が非常に簡単で、各ステップで一度に1 列または 1 行のピクセルのみを処理するため、非常に効率的です。 ^[7]

タイポグラフィでは、シアー マッピングによって変換された通常のテキストは、斜めの文字になります。

アインシュタイン以前のガリレイ相対論では、参照フレーム間の変換はガリレイ変換と呼ばれるせん断マッピングです。これらは、絶対時間と空間と呼ばれることもある「優先」フレームを基準とした移動参照フレームを記述するときにも時々見られます。

• 変換行列

ウィキメディア・コモンズには、せん断 (幾何学)に関連するメディアがあります。

Wikibookの抽象代数には、せん断写像に関するページがあります。

• Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. (1991)、『コンピュータグラフィックス：原理と実践』（第2版）、Reading: Addison-Wesley、ISBN 0-201-12110-7