角運動量演算子

量子力学において、角運動量演算子は、古典角運動量に類似したいくつかの関連演算子の 1 つです。角運動量演算子は、原子および分子物理学の理論や、回転対称性を含むその他の量子問題において中心的な役割を果たしています。観測可能なものであるため、その固有関数はシステムの角運動量の識別可能な物理的状態を表し、対応する固有値は観測可能な実験値を表します。システムの状態の数学的表現に適用すると、状態が固有状態である場合 (固有状態/固有値方程式に従って)、同じ状態に角運動量の値を乗じた値が生成されます。古典力学システムと量子力学システムの両方において、角運動量 (線形運動量およびエネルギーと共に) は、運動の 3 つの基本的特性の 1 つです。^[1]

角運動量演算子には、全角運動量（通常Jと表記）、軌道角運動量（通常Lと表記）、スピン角運動量（略してspin 、通常Sと表記）などがあります。角運動量演算子という用語は、（紛らわしいことに）全角運動量または軌道角運動量のどちらかを指すことがあります。全角運動量は常に保存されます。ノイマンの定理を参照してください。

量子力学では、角運動量は 3 つの異なるが関連するもののいずれかを指します。

角運動量の古典的な定義はです。これらのオブジェクトの量子力学的対応物は同じ関係を共有します。 ここで、rは量子位置演算子、pは量子運動量演算子、 × は外積、Lは軌道角運動量演算子です。L ( pやrと同様) はベクトル演算子(成分が演算子であるベクトル)です。つまり、ここでL _x、L _y、L _zは 3 つの異なる量子力学的演算子です。 ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

電荷もスピンもない単一粒子の特殊なケースでは、軌道角運動量演算子は位置基底で次のように表すことができます。 ここで、∇はベクトル微分演算子、delです。 $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$

スピン角運動量（スピンと略されることが多い）と呼ばれる別の種類の角運動量があり、スピン演算子 によって表されます。スピンは、文字通り軸の周りを回転する粒子として描かれることが多いですが、これは単なる比喩です。最も近い古典的な類似物は、波の循環に基づいています。^[2]すべての素粒子は、固有のスピンを持っています（スカラーボソンはゼロスピンです）。たとえば、電子は常に「スピン 1/2」を持ち、光子は常に「スピン 1」を持ちます（詳細は後述）。 ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

最後に、粒子またはシステムのスピン角運動量と軌道角運動量の両方を組み合わせた 全角運動量 があります。${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

角運動量保存則によれば、閉じたシステムのJまたは宇宙全体のJ は保存されます。ただし、 LとS は一般に保存されません。たとえば、スピン軌道相互作用により、角運動量はLとS の間で行き来できますが、総Jは一定のままです。

軌道角運動量演算子はベクトル演算子であり、ベクトル成分で表すことができます。各成分は互いに次のような交換関係を持っています。 ^[3]${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$ $${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

ここで[,]は交換子を表す $${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

これは一般に次のように表すことができます 。 ここで、l、m、nは成分インデックス（xの場合は1 、yの場合は2、 zの場合は3 ）、εlmn_はレヴィ・チヴィタ記号を表します。 $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$

一つのベクトル方程式として簡潔に表現することもできる: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

交換関係は、標準交換関係 の直接的な帰結として証明できます。ここで、δ _lmはクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

古典物理学にも同様の関連がある: ^[5] ここでLn_は古典角運動量演算子の成分であり、ポアソン括弧である。 $${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$${\displaystyle \{,\}}$

同じ交換関係が他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）にも適用される：^[6] $${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

これらはLと同様に成り立つと仮定できます。あるいは、以下で説明するように導出することもできます。

これらの交換関係は、L がリー代数の数学的構造を持ち、ε _{lmn が}その構造定数であることを意味します。この場合、リー代数は、物理表記法ではSU(2)またはSO(3) (または数学表記法ではそれぞれ SU(2) または SO(3))、つまり3次元の回転に関連付けられたリー代数です。 JとSについても同様です。理由は後述します。これらの交換関係は、以下でさらに説明するように、測定と不確実性に関連しています。 ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

分子では、全角運動量F は、回転振動角運動量N、電子スピン角運動量S、および核スピン角運動量Iの合計です。電子一重項状態では、回転振動角運動量はNではなくJで表されます。Van Vleck によって説明されているように、^[7] 分子固定軸に関する分子回転振動角運動量の成分は、空間固定軸に関する成分に対する上記の交換関係とは異なる交換関係を持ちます。

他のベクトルと同様に、大きさの2乗は軌道角運動量演算子に対して定義できる。 $${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$は別の量子演算子である。これは の成分と可換である。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$$${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

これらの演算子が交換可能であることを証明する1つの方法は、前のセクションの [ L _ℓ , L _m ]交換関係から始めることです。

数学的には、は によって張られるリー代数SO(3)のカシミール不変量です。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

古典物理学にも同様の関連がある。 ここで は古典的な角運動量演算子の要素であり、 はポアソン括弧である。^[9]$${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \{,\}}$

量子の場合に戻ると、同じ交換関係が他の角運動量演算子（スピンと全角運動量）にも適用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

一般に、量子力学では、2 つの観測可能な演算子が交換しない場合、それらは相補的観測可能量と呼ばれます。2 つの相補的観測可能量は同時に測定できず、代わりに不確定性原理を満たします。一方の観測可能量がより正確にわかるほど、もう一方の観測可能量はより不正確になります。位置と運動量に関連する不確定性原理があるのと同様に、角運動量にも不確定性原理があります。

ロバートソン・シュレーディンガーの関係から、次の不確定性原理が導かれます。 ここで、はXの測定値の標準偏差、 はXの期待値を表します。この不等式は、 x、y、zを並べ替えた場合、またはL をJまたはSに置き換えた場合にも当てはまります。 $${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \langle X\rangle }$

したがって、角運動量の2つの直交成分（たとえば、L _xとL _y）は補完的であり、などの特殊な場合を除いて、同時に知ることも測定することもできません。 ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

ただし、 L ^2とLの任意の 1 つのコンポーネント(たとえば、L ²とL _{z )}を同時に測定または指定することは可能です。これは多くの場合有用であり、値は方位量子数( l ) と磁気量子数( m ) によって特徴付けられます。この場合、システムの量子状態は演算子 L 2 と L z の同時固有状態ですが^、 L x_またはL y_の同時固有_状態ではありません。固有値は、次の表に示すように、 lとmに関連しています。

量子力学では、角運動量は量子化されている。つまり、連続的に変化することはできず、ある許容値の間で「量子飛躍」的にしか変化できない。どのシステムでも、測定結果には以下の制限が適用される。ここで、はプランク定数を減じたものである。^[10]${\displaystyle \hbar }$

上記の量子化規則を導く一般的な方法はラダー演算子法である。^[12]全角運動量のラダー演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

がとの同時固有状態（つまり、 に対して定数値を持ち、 に対して定数値を持つ状態）であると仮定します。 の成分の交換関係を使用して、とのそれぞれの状態がゼロであるか、 に対して と同じ値を持ち、 に対しての値がそれぞれ によって増加または減少する、との同時固有状態であるかのいずれかであることが証明できます。 ラダー演算子の使用により に対して の値が許容範囲外になる状態になる場合、結果はゼロになります。 このようにラダー演算子を使用すると、との可能な値と量子数を見つけることができます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}}$

およびの可能な値と量子数の導出。^[13]${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$

をの固有値と の固有値を持つシステムの状態関数とします。[^{注 1]}${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$${\displaystyle {J^{2}}'}$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}'}$${\displaystyle J_{z}}$

から が得られます。 上式の両辺を に適用すると、 およびは実数な のでは負ではなく です。したがって には上限と下限があります。 ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$$${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$${\displaystyle J_{z}'}$

の成分に対する交換関係のうち 2 つは、 です。 これらは結合して 2 つの方程式を得ることができ、以下では 符号を使用して一緒に書きます。 ここで、方程式の 1 つは符号を使用し、もう 1 つは符号を使用します。 上記の両辺を に適用すると、 上記は、 がそれぞれの固有値 を持つの 2 つの固有関数であることを示しています。ただし、関数の 1 つが 0 の場合は固有関数ではありません。 0 でない関数については、 を繰り返し適用することで、結果として得られる固有値の大きさが である限り、の さらなる固有関数と対応する固有値を見つけることができます。 の固有値は有界であるため、が最低の固有値、 が最高の固有値であるとします。すると、 の 固有値がまたは である状態は存在しないため、およびと なります。 を使用して、最初の方程式を2 番目の方程式に適用し、も使用すると、 および であることが示されます。 から 1 番目の方程式を減算して整理すると、 で ある ため、2 番目の因子は負です。すると、最初の因数はゼロになるはずなので、 となります。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$$${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$${\displaystyle \pm }$$${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{z}^{0}}$${\displaystyle J_{z}^{1}}$$${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$$${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle <J_{z}^{0}}$${\displaystyle >J_{z}^{1}}$${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$$${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

違いは、または を連続的に適用することで、の固有値がだけ低下または上昇することから生じます。 ここ でと 上記の を 使用し、 の許容される固有値はです。 量子数 で 表し、上記の を に代入すると、${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$${\displaystyle J_{z}}$$${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$${\displaystyle J_{z}'}$${\displaystyle m_{j}\;}$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

およびは と同じ交換関係を持つため、 については量子数が整数でなければならないというさらなる制限がある ことを除いて、同じラダー解析をこれらに適用できます。${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$

およびに対する整数量子数への制限の伝統的な導出。^[14]${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle L^{2}}$

シュレーディンガー表現では、軌道角運動量演算子の z 成分は球座標で次のように表すことができます。 ^[15] および固有値 を持つ固有関数 について、 を解くと、 はに依存しません。は単一の値である必要があり、を に追加すると空間内の同じ点の座標が得られるため、 固有値 を解くと、 は整数になります。^[16] 上記と関係 から、 も整数であることがわかります。これは、軌道角運動量の量子数とは、半整数値を取ることができる全角運動量とスピン の量子数とは異なり、整数に制限されていることを示しています。^[17]$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle L_{z}'}$$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle L_{z}'}$$${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$${\displaystyle m_{l}}$${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {S} }$

単一値波動関数を仮定しない別の導出が続き、リー群を使用した別の議論は以下のとおりです。

およびに対する整数量子数への制限の別の導出${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle L^{2}}$

上記の伝統的な導出の重要な部分は、波動関数が単一値でなければならないということです。これは現在では完全に正しいわけではないことが多くの人に認識されています。波動関数は観測可能ではなく、確率密度のみが単一値である必要があります。可能な2つの値を持つ半整数波動関数は、単一値の確率密度を持ちます。^[18]これは1939年にパウリによって認識されました（Japaridzeら^[19]によって引用） ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$

... 何らかの物理的状態を記述する波動関数が単価関数でなければならないという、先験的に説得力のある議論は存在しない。波動関数の二乗で表される物理量が単価であるためには、これらの関数が閉じた輪郭の周りを移動した後に係数 exp(iα) を獲得するだけで十分である。

やなどの2価波動関数が発見されている。^{[20] [21]}これらはラダー演算子の下ではうまく動作しないが、剛体量子粒子を記述するのに有用であることがわかっている^[22]${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$

Ballentine ^[23]は、演算子形式のみに基づいた議論を示しており、波動関数が一価であることに依存しない。方位角運動量は次のように定義される。 新しい演算子 を定義する（ 次元の正確さは、数値的に 1 に等しい質量と単位角周波数の因子を挿入することによって維持できる）。次に、 しかし、右側の 2 つの項は、単位質量と単位角周波数を持つ量子調和振動子のハミルトニアンであり、、、および は すべて可換である。 $${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

^{可換エルミート演算子の場合、4つの演算子すべてに対する固有ベクトルである基底ベクトルの完全なセットを選択できます。(Glorioso [24]}の議論は、任意の数の可換演算子に簡単に一般化できます。)

いくつかの整数に対する これらの固有ベクトルのいずれについても、次式が成り立ちます 。 2 つの整数の差は整数でなければならないため、 も整数である必要があります。 ${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}}$$${\displaystyle n_{1},n_{2}}$$${\displaystyle m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$

量子調和振動子のラダー演算子を用いたこの議論のより複雑なバージョンは、ブッフダールによって提示されている。^[25]

角運動量は量子演算子であるため、古典力学のようにベクトルとして描くことはできません。それでも、このように経験的に描くことはよくあります。右側に描かれているのは、下から上までの 5 つの円錐について、量子数、の状態の集合です。 であるため、ベクトルはすべて長さ で示されています。リングは、 が確実にわかっているが、と は 未知であるという事実を表しています。したがって、適切な長さとz成分を持つすべての古典ベクトルが描かれ、円錐を形成します。 および によって特徴付けられる量子状態にある特定のシステムのアンサンブルに対する角運動量の期待値は、この円錐上のどこかにある可能性がありますが、単一のシステムに対して定義することはできません ( の成分は互いに交換できないため)。 ${\displaystyle \ell =2}$${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle L}$

量子化の規則は、回転するタイヤの角運動量Lのようなマクロなシステムにも当てはまると広く考えられています。しかし、観測可能な効果はないため、これはテストされていません。たとえば、がおよそ100000000の場合、正確な値が100000000や100000001のような整数であるか、100000000.2のような非整数であるかは本質的に違いはありません。離散的なステップは現時点では測定するには小さすぎます。^[26]${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

角運動量の最も一般的で基本的な定義は、回転の生成子である。^[6]より具体的には、回転演算子とし、任意の量子状態を 軸 の周りで角度 だけ回転させる。 として、演算子 は恒等演算子に近づく。なぜなら、0° の回転はすべての状態をそれ自身にマッピングするからである。すると、軸 の周りの角運動量演算子は次のように定義される。^[6]${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$${\displaystyle J_{\hat {n}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$ $${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$$

ここで、1は恒等演算子です。また、Rは加法射であることにも注意してください。 結果として^{[6]、 expは}行列指数 です。生成子の存在は、1パラメータユニタリ群上のストーンの定理によって保証されています。 ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$ $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$$

簡単に言えば、全角運動量演算子は、量子系が回転したときにどのように変化するかを特徴づけます。角運動量演算子と回転演算子の関係は、数学におけるリー代数とリー群の関係と同じです。これについては、以下で詳しく説明します。

J が回転演算子の生成元であるのと同様に、LとS は修正部分回転演算子の生成元です。演算子は、 すべての粒子とフィールドの位置 (空間内) を回転させますが、粒子の内部 (スピン) 状態は回転しません。同様に、演算子は、 すべての粒子の内部 (スピン) 状態を回転させますが、空間内の粒子やフィールドは移動しません。関係J = L + Sは、次の式から得られます。 $${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$$${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$$

つまり、位置が回転し、次に内部状態が回転すると、システム全体が回転したことになります。

360°の回転は恒等演算子であると予想されるが、これは量子力学では想定されておらず、多くの場合正しくないことが判明している。全角運動量量子数が半整数（1/2、3/2など）のときは、整数のときは である。[ ^6]数学的には、宇宙における回転の構造は、古典力学における3次元回転のグループであるSO(3)ではない。代わりに、 SU(2)であり、これは小さな回転についてはSO(3)と同一であるが、360°回転は数学的に0°回転と区別される。（ただし、720°回転は0°回転と同じである。）^[6]${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

一方、すべての状況において、空間構成の 360° 回転はまったく回転しないのと同じであるためです。(これは、粒子の内部(スピン) 状態の 360° 回転とは異なります。これは、まったく回転しないのと同じである場合もそうでない場合もあります。) 言い換えると、演算子はSO(3)の構造を持ち、演算子と演算子はSU(2)の構造を持ちます。 ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{\text{internal}}}$

方程式から、固有状態を選択してを描きます。 つまり、軌道角運動量量子数は半整数ではなく整数のみであるということです。 ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$$${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$

ある量子状態 から始めて、すべての可能な および の状態の集合、つまり、開始状態をあらゆる可能な方法で回転させることによって生じる状態の集合を考えます。その集合の線形範囲はベクトル空間であるため、回転演算子が 1 つの状態を別の状態にマッピングする方法は、回転演算子のグループの表現です。 ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle \phi }$

Jと回転演算子 の関係から、

角運動量演算子が量子状態に作用すると、リー代数またはの表現が形成されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

（SU(2)とSO(3)のリー代数は同一である。）

上記のラダー演算子の導出は、リー代数SU(2)の表現を分類する方法です。

古典的な回転は互いに交換可能ではありません。たとえば、x軸を中心に1°回転させてからy軸を中心に1°回転させた場合と、 y軸を中心に1°回転させてからx軸を中心に1 °回転させた場合とでは、全体的な回転がわずかに異なります。この非交換性を注意深く分析することで、角運動量演算子の交換関係を導くことができます。^[6]

(この同じ計算手順は、「リー群SO(3)またはSU(2)のリー代数とは何ですか?」 という数学的な質問に答える 1 つの方法です。)

ハミルトニアンH はシステム のエネルギーとダイナミクスを表します。球対称の状況では、ハミルトニアンは回転に対して不変です。 ここで、Rは回転演算子です。結果として、JとRの関係により、 となります。エーレンフェストの定理により、J は保存されます。 $${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$${\displaystyle [H,R]=0}$${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

要約すると、H が回転不変（球対称）であれば、全角運動量Jは保存されます。これはノイマンの定理の例です。

Hが 1 つの粒子のハミルトニアンにすぎない場合、その粒子が中心ポテンシャル内にあるとき(つまり、ポテンシャル エネルギー関数が のみに依存するとき)、その 1 つの粒子の全角運動量は保存されます。あるいは、H は宇宙のすべての粒子と場のハミルトニアンである可能性があり、その場合、宇宙の物理の基本法則は方向に関係なく同じであるため、 Hは常に回転不変です。これが、角運動量の保存が物理学の一般原理であると 言う根拠です。${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

スピンのない粒子の場合、J = Lなので、同じ状況で軌道角運動量は保存されます。スピンがゼロでない場合、スピン軌道相互作用により、角運動量はLからSへ、またはその逆に移動します。したがって、L自体は保存されません。

多くの場合、 2 種類以上の角運動量は相互に作用し、角運動量は一方から他方へ伝達されます。たとえば、スピン軌道相互作用では、角運動量はLとS の間で伝達されますが、保存されるのは合計のJ = L + Sのみです。別の例として、 2 つの電子を持つ原子では、それぞれが独自の角運動量J ₁とJ _{2 を}持ちますが、保存されるのは合計のJ = J ₁ + J ₂のみです。

このような状況では、一方ではすべてが明確な値を持つ状態と、他方ではすべてに明確な値を持つ状態との関係を知っておくと役立つことがよくあります。後者の 4 つは通常保存されるからです (運動定数)。これらの基底の間を行ったり来たりするための手順は、クレプシュ・ゴルダン係数を使用することです。 ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

この分野における重要な結果の 1 つは、 の量子数の間に次の関係があることです。 ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$$${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.}$$

J = L + Sである原子または分子の場合、記号という項は演算子に関連付けられた量子数を表します。 ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$

角運動量演算子は、球面座標系における球対称性の問題を解くときによく用いられる。空間表現における角運動量は^{[27] [28]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$$

球座標では、ラプラス演算子の角度部分は角運動量で表すことができる。これは次の関係につながる。 $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$$

演算子の固有状態 を求めるために解くと、次の式が得られます 。 ここで、は 球面調和関数 です。 ^[29]${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$$