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数学において、ラングランズ・プログラムは、数論、保型形式の理論、幾何学の間の関連性に関する一連の予想である。これは、カナダの数学者ロバート・ラングランズ（1967年、1970年）によって提唱された。より正確には、代数的数論におけるガロア群の構造を保型形式、そしてより一般的には局所体およびアデール上の代数群の表現論と関連付けようとするものである。
ラングランズ・プログラムは、既存のアイデアに基づいて構築されています。数年前にハリシュ・チャンドラとゲルファンドによって定式化されたカスプ形式の哲学[ 1 ]、半単純リー群に関する研究とハリシュ・チャンドラのアプローチ、そして技術的にはセルバーグらのトレース公式です。
ラングランズの研究における新しい点は、技術的な深さに加えて、数論との関連性を提案したこと、そしてその豊かな組織構造（いわゆる関数性）を仮説として提示したことである。
ハリシュ・チャンドラの研究は、ある半単純（または還元的）リー群に対してできることはすべてすべてのリー群に対してもできるという原理を利用した。そのため、モジュラー形式の理論におけるGL(2)のような低次元リー群の役割が認識され、後からクラス体論におけるGL(1)の役割も認識されると、一般のn > 2に対するGL( n )についての考察への道が開かれた。
「尖点形式」という概念は、モジュラー曲線上の尖点から生まれたものですが、スペクトル理論においては「離散スペクトル」として意味を持ち、アイゼンシュタイン級数における「連続スペクトル」と対比されます。放物型部分群の数が増えるため、リー群が大きくなるにつれて、この概念はより専門的なものになります。
これらのアプローチすべてにおいて、技術的な手法が利用可能であり、多くの場合、帰納的な性質を持ち、とりわけレヴィ分解に基づいていたが、この分野は依然として困難であった。 [ 2 ]
モジュラー形式の観点からは、ヒルベルトモジュラー形式、ジーゲルモジュラー形式、シータ級数などの例が開発されてきた。
ラングランズ予想は、ラングランズが最初に提唱して以来、進化を遂げてきた。ラングランズ予想は、提唱可能な多くの異なる分野にわたる多くの異なる群に適用され、各分野には予想の複数のバージョンが存在する。[ 3 ]いくつかのバージョンは曖昧であったり、存在が証明されていないラングランズ群などの対象に依存していたり、複数の非同値な定義を持つL群に依存していたりした。
ラングランズ予想が成り立つ対象：
これらの推測は、密接に関連しているものの、必ずしも等価ではない様々な方法で表現することができる。
このプログラムの出発点は、二次相互法則を一般化したエミール・アルティンの相互法則でした。アルティンの相互法則は、ガロア群がアーベル群である代数体のガロア拡大に適用されます。この法則は、このガロア群の1次元表現にL関数を割り当て、これらのL関数が、ヘッケ指標から構成される特定のディリクレL級数またはより一般的な級数（つまり、リーマンゼータ関数の特定の類似物）と同一であると述べています。これらの異なる種類のL関数間の正確な対応関係が、アルティンの相互法則を構成します。
非可換ガロア群およびそれらの高次元表現に対して、L関数は自然な方法で定義できます。Artin L関数。
ラングランズの洞察は、ディリクレL関数の適切な一般化を見つけることであり、それによってアルティンの主張をラングランズのより一般的な設定で定式化することが可能になった。ヘッケは以前、ディリクレL関数を保型形式（複素数平面の上半平面上の正則関数）と関連付けていた。特定の関数方程式 を満たすもの）。ラングランズは次にこれらを保型尖点表現に一般化した。保型尖点表現とは、アデル環上の一般線形群GL( n )の特定の無限次元既約表現である。（有理数）。（この環は、（p進数を参照。）
ラングランズはこれらの保型表現に保型L関数を付加し、数体のガロア群の有限次元表現から生じるすべてのアルティンL関数は、保型尖点表現から生じるアルティンL関数と等しいと予想した。これは彼の相互性予想として知られている。
大まかに言えば、この予想は、簡約群の保型表現と、ラングランズ群からL群への準同型写像との間に対応関係を与えるものである。ラングランズ群とL群の定義が固定されていないこともあり、この予想には多くのバリエーションが存在する。
局所体においては、これは局所体上の簡約群の許容既約表現のLパケットのパラメータ化を与えることが期待される。例えば、実数体においては、この対応関係は実簡約群の表現のラングランズ分類となる。大域体においては、保型形式のパラメータ化を与えるはずである。
関数性予想とは、L群の適切な準同型写像によって、保型形式（大域的な場合）または表現（局所的な場合）の間に対応関係が成立すると予測されるものである。大まかに言えば、ラングランズ相互性予想は、簡約群の一つが自明な場合の関数性予想の特殊なケースである。
ラングランズは関数性の概念を一般化し、一般的な線形群 GL( n ) の代わりに、他の連結還元群を用いることができるとした。さらに、そのような群Gが与えられたとき、ラングランズはラングランズ双対群L Gを構成し、Gの任意の保型尖点表現とL Gの任意の有限次元表現に対して、 L関数を定義した。彼の予想の一つは、これらのL関数が、他の既知のL関数の関数方程式を一般化した特定の関数方程式を満たすというものである。
彼は次に、非常に一般的な「関数性原理」を定式化する。2つの簡約群と、それらに対応するL群間の（性質の良い）射が与えられたとき、この予想は、それらの保型表現をL関数と両立する形で関連付ける。この関数性予想は、これまで提示された他のすべての予想を包含する。これは誘導表現構成の性質を持ち、より伝統的な保型形式の理論では「持ち上げ」と呼ばれ、特殊な場合に知られているものであり、したがって共変である（制限表現は反変である）。直接構成を特定しようとする試みは、いくつかの条件付き結果しか生み出していない。
これらの予想はすべて、より一般的な場に対して定式化することができ、:代数的数体(元祖で最も重要なケース)、局所体、関数体。
ジェラール・ローモンがウラジミール・ドリンフェルドの考えに基づいて提唱した幾何学的ラングランズ・プログラムは、既約表現だけでなく、より多くのものを関連付けようとする通常のラングランズ・プログラムを幾何学的に再定式化したものである。単純な場合、このプログラムは、代数曲線のエタール基本群のl進表現を、曲線上のベクトル束のモジュライスタック上のl進層の導来圏の対象と関連付ける。
2024年、デニス・ゲイツゴリーが率いる9人の共同プロジェクトは、証明の一部としてヘッケ固有層を利用した（圏論的、非分岐）幾何学的ラングランズ予想の証明を発表した。 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
GL(1, K )のラングランズ対応はクラス体理論から導かれ、 （本質的にはそれと同等である）
ラングランズは、アルキメデス局所体上の群に関するラングランズ予想を証明した。（実数）と（複素数）の既約表現のラングランズ分類を与えることによって。
有限体上のリー型群の既約表現に関するルスティグの分類は、有限体におけるラングランズ予想の類似物とみなすことができる。
アンドリュー・ワイルズによる有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、楕円曲線から生じるガロア表現をモジュラー形式に関連付けるという主要なアイデアに基づいているため、ラングランズ相互予想の一例と見なすことができる。ワイルズの結果は多くの異なる方向に大幅に一般化されているが、ラングランズ予想全体は、未だ証明されていない。
1998年、ローラン・ラフォルグは、関数体Kに対する一般線形群GL( n , K )のグローバル・ラングランズ対応を検証するラフォルグの定理を証明した。この研究は、1980年代にGL(2, K )の場合を扱ったドリンフェルドによる以前の研究を引き継いだものである。
2018年、ヴィンセント・ラフォルグは、大域関数体上の連結還元群に対する大域ラングランズ対応（保型形式からガロア表現への方向）の半分を確立した。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
Philip Kutzko [ 11 ]は、局所体上の一般線形群 GL(2, K ) の局所ラングランズ対応を証明した。
ジェラール・ローモン、マイケル・ラポポート、ウルリッヒ・シュトゥーラーは、正の特性を持つ局所体Kの一般線形群 GL( n , K ) の局所ラングランズ対応を証明した。[ 12 ]彼らの証明は、曲線上の可除代数の単位群の保型表現の局所成分として関心のある滑らかな許容表現を実現し、次に点計数公式を使用してこれらの表現に関連付けられた大域ガロア表現の性質を研究するという、大域的な議論を使用している。
Michael Harris and Richard Taylor proved the local Langlands conjectures for the general linear group GL(n, K) for characteristic 0 local fields K.[13]Guy Henniart gave another proof.[14] Both proofs use a global argument of a similar flavor to the one mentioned in the previous paragraph. Peter Scholze gave another proof.[15]
Laurent Fargues and Peter Scholze recast the local Langlands correspondence in geometric terms using the Fargues–Fontaine curve. In their approach, the key automorphic object is the stack of -bundles on the Fargues–Fontaine curve, viewed as a geometric replacement for the representation theory of over a non-archimedean local field .[16]
Fargues and Scholze develop a theory of -adic sheaves on , prove a version of the geometric Satake equivalence for the Fargues–Fontaine curve, and define a geometric moduli stack of Langlands parameters.[16]
Their work also formulates a conjectural categorical form of local Langlands, in which the usual correspondence between representations and parameters is expected to arise from a deeper relationship between categories of sheaves on and coherent sheaves on the stack of Langlands parameters. This is thus not a complete proof of the local Langlands correspondence for all reductive groups, but a geometric reformulation that yields new results and a broadened conceptual framework for the subject.[16][17]
In 2008, Ngô Bảo Châu proved the "fundamental lemma", which was conjectured initially by Langlands and Shelstad in 1983 and is required in the proof of some essential conjectures in the Langlands program.[18][19]
