バナッハ空間

数学、より具体的には関数解析において、バナッハ空間（バナッハかん、発音は[ˈbanax]）は完全なノルムベクトル空間である。したがって、バナッハ空間は、ベクトルの長さとベクトル間の距離を計算できる計量を持つベクトル空間であり、ベクトルのコーシー列が常に空間内の 明確に定義された極限に収束するという意味で完全である。

バナッハ空間は、この概念を導入し、1920年から1922年にかけてハンス・ハーンやエドゥアルト・ヘリーとともに体系的に研究したポーランドの数学者ステファン・バナッハにちなんで名付けられました。^[1]モーリス・ルネ・フレシェが「バナッハ空間」という用語を最初に使用し、バナッハは「フレシェ空間」という用語を造り出しました。^{[2]バナッハ空間はもともと、20世紀初頭の}ヒルベルト、フレシェ、リースによる関数空間 の研究から生まれました。バナッハ空間は関数解析において中心的な役割を果たしています。解析の他の分野では、研究対象の空間は多くの場合バナッハ空間です。

バナッハ空間は完全な ノルム空間 です 。ノルム空間は、スカラー体上のベクトル空間(ここでは が一般にまたは) と特別な^{[注 2]}ノルムのペア^{[注 1]}です。すべてのノルムと同様に、このノルムは、すべてのベクトルに対して次のように定義される、標準または(ノルム)誘導メトリックと呼ばれる変換不変^{[注 3]} 距離関数を誘導します^{[注 4]。} これにより、 はメトリック空間になります。任意の実数に対して、 および がより大きいときは いつでもとなるような インデックスが存在する場合、シーケンスは または-コーシーまたは-コーシーと呼ばれます。 が完全なメトリック空間である場合、 ノルム空間はバナッハ空間と呼ばれ、標準メトリックは完全なメトリックと呼ばれます。これ は、定義により のすべてのコーシー シーケンスに対してと なる${\displaystyle \(X,\|\cdot \|)~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \X\}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$${\displaystyle \\mathbb{R}\}$${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$ ${\displaystyle \\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ~.}$ ${\displaystyle \ x,y\in X\ }$ $${\displaystyle \d(x,y):=\|yx\|=\|xy\|~.}$$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \(X,d)~.}$${\displaystyle \x_{1},x_{2},\ldots \}$ ${\displaystyle \ (X,d)\ }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \\|\cdot \|}$${\displaystyle \r>0\,}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \ d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r\ }$$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \N~.}$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$${\displaystyle \d\}$${\displaystyle \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle \x_{1},x_{2},\ldots \}$${\displaystyle \ (X,d)\ ,}$${\displaystyle \ x\in X\ }$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d)}$$${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} ~.}$$

ノルム空間のノルムは${\displaystyle \\|\cdot \|\}$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$がバナッハ空間である 場合は完全ノルムです。${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$

L-半内積

任意のノルム空間に対して、上のL-半内積が存在し、一般にすべてに対して、この条件を満たす L-半内積は無限に存在する可能性があります。L-半内積は内積の一般化であり、これがヒルベルト空間を他のすべてのバナッハ空間と根本的に区別するものです。これは、すべてのノルム空間 (したがってすべてのバナッハ空間) が (プレ) ヒルベルト空間の一般化と見なせることを示しています。 ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ ,}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$${\displaystyle \X\}$${\textstyle \ \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\ }$${\displaystyle \x\inX\;}$

シリーズによる特徴づけ

ベクトル空間構造により、コーシー列の振る舞いをベクトルの収束級数の振る舞いに関連付けることができます。ノルム空間がバナッハ空間であるためには、各絶対収束級数が範囲内の値に収束する必要があります。 ^[3]${\displaystyle \X\}$${\displaystyle \X\}$${\displaystyle \X\,}$ $${\displaystyle \\sum_{n=1}^{\infty}\|v_{n}\|<\infty\quad{\text{は、}}\quad\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}\\{\text{が}}\\X~で収束することを意味します。}$$

ノルム空間の正準計量は、正準位相またはノルム誘導位相と呼ばれる通常の計量位相を誘導します。特に断りのない限り、すべてのノルム空間は自動的にこのハウスドルフ位相を持つものとみなされます。この位相では、すべてのバナッハ空間はベール空間ですが、ベールであってバナッハではないノルム空間も存在します。^[4]ノルムは、それが誘導する位相に関して 常に連続関数です。${\displaystyle d}$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \\tau_{d}\}$${\displaystyle \X\,}$${\displaystyle \\|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} \ }$

点を中心とする半径 の開いた球と閉じた球は、それぞれ、 の集合です 。 このような球はいずれもの凸かつ有界な部分集合ですが、コンパクトな球 /近傍が存在するのは、 が有限次元ベクトル空間の場合のみです。特に、無限次元ノルム空間は局所コンパクトになることも、ハイン・ボレル特性を持つこともできません。 がベクトルで がスカラーの 場合、 を使用すると、このノルム誘導位相が並進不変 であることが示されます。つまり、任意の および に対して、部分集合がで開いている(それぞれ閉じている)のは、その並進についてこれが成り立つ場合のみです。 したがって、ノルム誘導位相は、原点の任意の近傍基数によって完全に決定されます。原点における一般的な近傍基数には、次のものがあります。 は、で に収束する の正の実数列です( や など) 。たとえば、のすべての開部分集合は 、何らかの部分集合でインデックス付けされた和集合として表すこと ができます。ここで、 はすべて、前述のシーケンスから選択できます(開球は閉球に置き換えることができますが、その場合、インデックス セットと半径も置き換える必要がある場合があります)。さらに、が可算空間である場合、 は常に可算として選択できます。これは、定義により、 には何らかの可算な稠密部分集合が含まれることを意味します。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \ x\in X\ }$$${\displaystyle \ B_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|<r\ \}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|\leq r\ \}~.}$$${\displaystyle \ X\ ,}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ x_{0}\ }$${\displaystyle \ s\neq 0\ }$$${\displaystyle \ x_{0}+s\ B_{r}(x)=B_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+s\ C_{r}(x)=C_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)~.}$$${\displaystyle \ s=1\ }$${\displaystyle \ x\in X\ }$${\displaystyle \ S\subseteq X\ ,}$${\displaystyle \ S\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ x+S:=\{\ x+s:s\in S\ \}~.}$$${\displaystyle \ \left\{\ B_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ C_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{\ C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\}\ }$$${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$${\displaystyle \ 0\ }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ r_{n}:={\tfrac {1}{n}}\ }$${\displaystyle \ r_{n}:=1/2^{n}\ ,}$${\displaystyle \ U\ }$${\displaystyle \ X\ }$$${\displaystyle \ U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\ B_{1}(0)\ }$$${\displaystyle \ I\subseteq U\ ,}$${\displaystyle \ r_{x}\ }$${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$${\displaystyle \ I\ }$${\displaystyle \ r_{x}\ }$${\displaystyle \ I\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\ }$

可分バナッハ空間の同相類

すべての有限次元ノルム空間は可分バナッハ空間であり、同じ有限次元の任意の2つのバナッハ空間は線型同相である。すべての可分無限次元ヒルベルト空間は、その通常のノルムを持つ可分ヒルベルト列空間${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$に線型等長同型である。 ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}~.}$

アンダーソン・ケーデックの定理は、任意の無限次元可分フレシェ空間は の可算個数のコピーの積空間に同相である（この同相は線型写像である必要はない）ことを述べている。^{[5] [6]} したがって、すべての無限次元可分フレシェ空間は互いに同相である（言い換えると、それらの位相は同相を除いて一意である）。すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるため、 を含むすべての無限次元可分バナッハ空間についてこのことが成り立つ。 実際、は自身の単位球面にも同相であり、これは有限次元空間とは著しい対照をなしている（例えば、 ユークリッド平面は単位円と同相ではない）。 ${\textstyle \ \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )~.}$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \left\{\ x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\ \right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}\ }$

同相類におけるこのパターンは、計量バナッハ多様体として知られる距離化可能（局所ユークリッド）位相多様体の一般化にまで拡張され、これはあらゆる点の周りの計量空間であり、与えられたバナッハ空間のある開部分集合に局所的に同相である（計量ヒルベルト多様体と計量フレシェ多様体も同様に定義される）。^[6] たとえば、バナッハ空間のすべての開部分集合は、包含写像が開局所同相であるため、標準的には をモデル化した計量バナッハ多様体である。ヒルベルト空間の微小束を用いて、デイビッド・ヘンダーソンは1969 年に^{[7] 、可分な無限次元バナッハ（または}フレシェ）空間をモデル化したすべての計量多様体はの開部分集合として位相的に埋め込むことができ、したがって、一意の滑らかな構造を許容してヒルベルト多様体になることを示した。 ${\displaystyle \ U\ }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ U\to X\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$${\displaystyle \ C^{\infty }\ }$

コンパクトおよび凸集合

のコンパクト部分集合があり、その凸包は閉じておらず、したがってコンパクトでもない（例としてこの脚注^{[注5]を参照）。 [8]} しかし、すべてのバナッハ空間と同様に、この（および他のすべての）コンパクト部分集合の閉じた凸包はコンパクトである。^[9]しかし、ノルム空間が完備でない場合、一般には がコンパクトであるかどうかは保証されない。例^[注5]は、（非完備）プレヒルベルトベクトル部分空間の${\displaystyle \ S\ }$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} (S)\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

位相ベクトル空間として

このノルム誘導位相は、位相ベクトル空間(TVS)と呼ばれるものにもなります。これは、定義により、加算とスカラー乗算の演算が連続になる位相を備えたベクトル空間です。TVS は、特定の種類の位相を伴うベクトル空間にすぎないことが強調されています。つまり、TVS として考えた場合、特定のノルムやメトリック (どちらも「忘れ去られた」)に関連付けられていません。このハウスドルフ TVS は、原点を中心とするすべての開球の集合が、凸バランス開集合からなる原点での近傍基底を形成するため、局所的に凸ですらあります。この TVS はノルム可能でもあり、これは定義により、何らかの (おそらく未知の)ノルムによって位相が誘導される任意の TVS を指します。ノルム可能な TVS は、ハウスドルフであり、原点の有界凸近傍を持つという特徴があります。すべてのバナッハ空間は樽型空間であり、これはすべての樽が原点の近傍である（たとえば、原点を中心とするすべての閉じた球は樽である）ことを意味し、バナッハ-シュタインハウスの定理が成り立つことを保証します。 ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

完全な計量化可能なベクトルトポロジの比較

開写像定理は、およびが上の位相で、 と の両方を完全距離化可能な TVS（たとえば、バナッハ空間 またはフレシェ空間 ）にするものである場合、および一方の位相が他方よりも細かいか粗い場合、それらは等しくなければならない（つまり、またはである場合）ことを意味している。^[10] したがって、たとえば、およびが位相とを持つバナッハ空間であり、これらの空間の 1 つに、もう 1 つの空間の開部分集合でもある開球がある場合（または同等に、または のいずれかが連続する場合）、それらの位相は同一であり、それらのノルムは同値である。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \ \tau _{2}\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ (X,\tau )\ }$${\displaystyle \ (X,\tau _{2})\ }$${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$${\displaystyle \ \tau _{2}\subseteq \tau \ }$${\displaystyle \ \tau =\tau _{2}\ }$${\displaystyle \ (X,p)\ }$${\displaystyle \ (X,q)\ }$${\displaystyle \tau _{p}}$${\displaystyle \ \tau _{q}\ }$${\displaystyle \ p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} \ }$

完全な規範と同等の規範

ベクトル空間上の2 つのノルム、およびは、同じ位相を誘導する場合に同値であるという。 ^[11]これは、すべての に対してとなる正の実数が存在する場合に限ります。と がベクトル空間上の 2 つの同値なノルムである場合、 がバナッハ空間であるための必要十分条件は、 がバナッハ空間である。バナッハ空間上の連続ノルムがそのバナッハ空間の与えられたノルムと同値でない例については、この脚注を参照のこと。 ^{[注 6] [11]} 有限次元ベクトル空間上のすべてのノルムは同値であり、すべての有限次元ノルム空間はバナッハ空間である。^[12]${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle q,}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ c,\ C>0\ }$${\textstyle \ c\ q(x)\leq p(x)\leq C\ q(x)\ }$${\displaystyle \ x\in X~.}$${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ (X,p)\ }$${\displaystyle \ (X,q)\ }$

完全な規範と完全な指標

ベクトル空間上の計量は、が並進不変^{[注 3]}かつ絶対同次である場合に限り、 上のノルムによって誘導される。つまり、すべてのスカラーおよびすべてのに対してとなる。この場合、関数は上のノルムを定義し、 によって誘導される標準計量は${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle D.}$

がノルム空間で、 がに誘導されるノルム位相であるとする。 が 上の任意の計量であって、に誘導される位相がに等しいものと仮定する。が並進不変^{[note 3]}である場合、がバナッハ空間となるのは、 が完全計量空間である場合に限ります^{[13] 。 が並進不変}でない 場合、 はバナッハ空間であるが は完全計量空間ではない可能性がある^[14] (例についてはこの脚注^{[note 7]}を参照)。 対照的に、すべての計量化可能な位相ベクトル空間にも適用されるKlee の定理^{[15] [16] [note 8]}は、にノルム位相を誘導する 上の任意の^{[note 9]}完全計量が存在する場合、 はバナッハ空間であることを意味する。 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle (X,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle (X,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

フレシェ空間は、ある平行移動不変な完備計量によって位相が誘導される局所凸位相ベクトル空間である。すべてのバナッハ空間はフレシェ空間であるが、その逆は成り立たない。実際、ノルムが連続関数ではないフレシェ空間も存​​在する（積位相を持つ実数列の空間 など）。しかし、すべてのフレシェ空間の位相は、ノルムの一般化であるセミノルムと呼ばれる実数値（必然的に連続）写像の可算な族によって誘導される。フレシェ空間がノルムの可算な族によって誘導される位相を持つことも可能である（そのようなノルムは必然的に連続である）^{[note 10] [17]が、その位相は}単一のノルムによって定義できないため、バナッハ/ノルム可能空間 ではない。そのような空間の例はフレシェ空間であり、その定義はテスト関数と超関数の空間に関する記事 に記載されている。 ${\textstyle \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

完全ノルムと完全位相ベクトル空間

計量完全性の他に、完全性の概念がもう 1 つあります。それは、一様空間の理論を使用する、完全な位相ベクトル空間(TVS) または TVS 完全性の概念です。具体的には、TVS 完全性の概念は、ベクトル減算とベクトル空間に備わっている位相のみに依存する、標準一様性と呼ばれる唯一の平行移動不変一様性を使用します。そのため、特に、この TVS 完全性の概念は、位相を誘導するノルムとは独立しています(計量化できないTVS にも適用されます)。すべてのバナッハ空間は完全な TVS です。さらに、ノルム付き空間がバナッハ空間である (つまり、そのノルム誘導計量が完全である) のは、位相ベクトル空間として完全である場合のみです。が距離化可能な位相ベクトル空間（たとえば、任意のノルム誘導位相）である場合、 が完全 TVS である場合と、それが順次完全 TVS である場合とで同値であり、これは、内のすべてのコーシー列がのいずれかの点に収束することを確認すれば十分であることを意味します（つまり、任意のコーシーネットのより一般的な概念を考慮する必要はありません）。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$

が位相が何らかの（おそらく未知の）ノルムによって誘導される位相ベクトル空間である場合（そのような空間はノルム可能と呼ばれる）、 が完備位相ベクトル空間となることと、 に位相上に を誘導し、 をバナッハ空間にもするノルムを割り当てることができることとは同値である。ハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間がノルム可能であることと、その強双対空間がノルム可能であることとは同値であり、^[18]この場合 はバナッハ空間である（は、その位相が連続双対空間上の双対ノルム誘導位相の一般化である の強双対空間を表す。詳細についてはこの脚注^{[注 11]を参照）。 が}距離化可能な局所凸 TVSである場合、 がノルム可能であることと、 がフレシェ–ウリゾーン空間であることとは同値である。^{[19]これは、}局所凸 TVS のカテゴリにおいて、バナッハ空間は、距離化可能であり、かつ距離化可能な強双対空間を持つ完備空間とまったく同じであることを示す。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

あらゆるノルム空間は、何らかのバナッハ空間の稠密ベクトル部分空間に等長的に埋め込むことができ、このバナッハ空間はノルム空間の完備化と呼ばれます。このハウスドルフ完備化は、等長同型性を除いて一意です。

より正確には、任意のノルム空間に対してバナッハ空間と写像が存在し、 は等長写像であり、で稠密である。が別のバナッハ空間であり、から の稠密部分集合への等長同型が存在する場合、はに等長同型である。 このバナッハ空間は、ノルム空間のハウスドルフ完備化である。 の基底距離空間は、から へのベクトル空間演算を拡張した の計量完備化と同じである。の完備化は、 によって表されることがある。${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

とが同じ基底体上のノルム空間である場合、すべての連続-線型写像の集合は で表される。無限次元空間では、すべての線型写像が連続であるとは限らない。ノルム空間から別のノルム空間への線型写像が連続となるのは、それがの閉単位球上で有界となる場合のみである。したがって、ベクトル空間には演算子ノルムを与えることができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle B(X,Y).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B(X,Y)}$ $${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

バナッハ空間の場合、空間はこのノルムに関してバナッハ空間である。カテゴリカルな文脈では、 2つのバナッハ空間間の関数空間を短い写像のみに制限すると便利な場合があります。その場合、空間は自然な双関手として再び現れます。^[20]${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

がバナッハ空間である場合、その空間は単位バナッハ代数を形成します。乗算演算は線型写像の合成によって与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

と がノルム空間である場合、線型一対一が存在してその逆 が連続であるとき、それらは同型ノルム空間です。2 つの空間またはのいずれかが完備 (または反射的 、可分 など) であれば、もう 1 つの空間も完備です。2 つのノルム空間とは、さらにが等長変換である場合、つまり の任意の に対して である場合、等長同型です。2 つの同型だが等長ではない空間 と の間のバナッハ–マズール距離は、 2 つの空間とがどれだけ異なるかの尺度を与えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

すべての連続線型作用素は有界線型作用素であり、ノルム空間のみを扱う場合はその逆も真です。つまり、2 つのノルム空間間の線型作用素は、連続関数である場合に限り有界です。したがって特に、スカラー体 (または) はノルム空間であるため、ノルム空間上の線型関数は、連続線型関数である場合に限り有界線型関数です。これにより、連続性に関する結果 (以下に示すような結果) をバナッハ空間に適用できます。有界性はノルム空間間の線型写像の連続性と同じですが、バナッハ空間を扱う場合は主に「有界」という用語がより一般的に使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

が劣加法関数（ノルム、劣線型関数、実線型関数など）である場合、 ^{[21] が}原点で連続であるためには がの全体にわたって一様連続である必要があります。また、が連続であるためには がの開部分集合である場合に限ります。[ ^{21] [注 12]また、}ハーン・バナッハの定理 を適用する上で非常に重要なことですが、線型関数が連続であるためには の実部が真であり が真である必要があり、さらにが真であり、実部によって が完全に決定されるため、ハーン・バナッハの定理は実線型関数に対してのみ示されることが多いのです。また、上の線型関数が連続であるためには が半ノルムが連続である必要があります。これはとなる連続半ノルムが存在する場合に限ります。線型関数と半ノルムを含むこの最後の記述は、ハーン・バナッハの定理の多くのバージョンで見られます。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f|\leq p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

2つのノルム空間の直積は、標準的にはノルムを備えていない。しかし、いくつかの同値なノルムが一般的に使用されており、^[22]それらは、 それぞれバナッハ空間と短写像（上で議論）のカテゴリにおける余積と積に対応する。[ 20 ^] 有限（余）積の場合、これらのノルムは同型ノルム空間を生じ、積（または直和）が完全であるためには、2つの因数が完全である必要がある。 ${\displaystyle X\times Y}$$${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\oplus Y}$

がノルム空間の閉線型部分空間である場合、商空間には自然なノルムが存在する。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$ $${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

が完備なとき、商はバナッハ空間である。^[23]からそのクラスへの商写像は線型であり、 上にあり、 のときを除いてノルムを持つ。ただし、 のときは商は零空間である。 ${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x+M,}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle M=X,}$

の閉線型部分空間は、が射影有界線型射影の値域である場合、の補空間であると言われる。この場合、空間はの直和と射影の核に同型である。${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ker P,}$${\displaystyle P.}$

と がバナッハ空間であり、 であると仮定します。 の標準因数分解が [23] として存在し^ます。ここで 、最初の写像は商写像であり、2 番目の写像は商のすべてのクラスをの像に送信します。これは、同じクラスのすべての要素が同じ像を持つため、明確に定義されます。この写像は、 から の範囲への線型一対一写像であり、その逆は有界である必要はありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\in B(X,Y).}$${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle x+\ker T}$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle X/\ker T}$${\displaystyle T(X),}$

バナッハ空間の基本的な例^{[24]としては、} Lp空間 とその特殊なケース、自然数でインデックス付けされたスカラー列からなる列空間、その中には絶対加算可能な列の空間と平方加算可能な列の空間、ゼロに向かう列の空間と有界列の空間、最大ノルムを備えたコンパクトなハウスドルフ空間上の連続スカラー関数の空間などがある。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K,}$$${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

バナッハ・マズール定理によれば、任意のバナッハ空間は何らかの部分空間に等長同型である^[25]任意の可分バナッハ空間に対して、の閉部分空間が存在し、^[26]${\displaystyle C(K).}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

任意のヒルベルト空間はバナッハ空間の例となる。上のヒルベルト空間は、 の形式のノルムに対して完備であり 、 ここで は 内積 であり、その最初の引数に線型であり、以下を満たす。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$$${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

たとえば、空間はヒルベルト空間です。 ${\displaystyle L^{2}}$

ハーディ空間、ソボレフ空間は、空間に関連し、追加の構造を持つバナッハ空間の例です。これらは、調和解析や偏微分方程式など、さまざまな解析分野で重要です。 ${\displaystyle L^{p}}$

バナッハ代数は、上のバナッハ空間、または上の代数の構造を伴い、積写像が連続となるものである。 上の同値ノルムは、すべての${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$${\displaystyle a,b\in A.}$

• 点ごとの積を持つバナッハ空間はバナッハ代数です。${\displaystyle C(K)}$
• ディスク代数は、 開単位ディスク上で正則でその閉包上で連続な関数から構成される。ディスク代数上の最大ノルムを備えた閉部分代数は、${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• ウィーナー代数は 、絶対収束するフーリエ級数を持つ単位円上の関数の代数です。関数をそのフーリエ係数のシーケンスに関連付けるマップを介して、この代数は、積がシーケンスの畳み込みであるバナッハ代数と同型です。${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• あらゆるバナッハ空間に対して、写像の合成を積とする境界付き線型作用素の空間はバナッハ代数である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X,}$
• C *-代数は、反線型反転を伴う複素バナッハ代数であり、ヒルベルト空間上の有界線型作用素の空間は、C*-代数の基本的な例である。ゲルファンド・ナイマルク定理は、すべてのC*-代数は、あるC*-部分代数に等長同型であると述べている。コンパクトなハウスドルフ空間上の複素連続関数の空間は、可換C*-代数の例であり、反転によってすべての関数にその複素共役が関連付けられる。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

がノルム空間で、基底体（実数または複素数）がである場合、連続双対空間はからへの連続線型写像または連続線型関数の空間です。連続双対の表記法については、この記事を参照してください。^[27]はバナッハ空間（絶対値をノルムとして使用）である ため、双対は任意のノルム空間に対してバナッハ空間です。ディクスミア–ン定理は、バナッハ空間の双対空間を特徴付けます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X.}$

連続線形関数の存在を証明するための主なツールは、ハーン・バナッハの定理です。

特に、ノルム空間の部分空間上の任意の連続線型関数は、関数のノルムを増加させることなく、空間全体に連続的に拡張することができる。[ 28 ^] 重要な特別なケースは次の通りである：ノルム空間内の任意のベクトルに対して、${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

がベクトルと等しくない場合、関数はノルム1を持つ必要があり、ノルム関数と呼ばれる。${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

ハーン・バナッハの分離定理は、実バナッハ空間内の互いに素な空でない凸集合2つ（一方が開集合）は、閉じたアフィン 超平面によって分離できることを述べている。開凸集合は超平面の片側に厳密に存在し、もう一方の凸集合は超平面の反対側に存在するが、超平面に接することがある。^[29]

バナッハ空間の部分集合は、の線型範囲が で稠密である場合に全集合である。の部分集合が で全集合であるためには、 上で消える唯一の連続線型関数が関数である場合に限る。この同値性はハーン・バナッハの定理から導かれる。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

が2つの閉線型部分空間の直和である場合、の双対はとの双対の直和に同型である。 ^[30]がの閉線型部分空間である 場合、の直交を双対に 関連付けることができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$$${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

直交は双対の閉じた線型部分空間である。の双対は等長的に同型であり、 の双対は等長的に同型である^[31]${\displaystyle M^{\bot }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M^{\bot }.}$

可分バナッハ空間の双対は可分である必要はないが、

が分離可能な場合、上記の全体性の基準は、可算な全体集合の存在を証明するために使用できます。${\displaystyle X'}$${\displaystyle X.}$

バナッハ空間上の弱位相は、連続双対空間のすべての元が連続する 上の最も粗い位相である。したがって、ノルム位相は弱位相よりも細かい。ハーン・バナッハの分離定理から、弱位相はハウスドルフであり、バナッハ空間のノルム閉凸部分集合も弱閉であることが分かる。 ^[33] 2つのバナッハ空間と 間のノルム連続線型写像も弱連続、つまり の弱位相から の弱位相へ連続である[ ^34]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

が無限次元の場合、連続しない線型写像が存在します。から基底体へのすべての線型写像の空間(この空間は、 と区別するために代数的双対空間と呼ばれます) は、上の位相も誘導します。この位相は弱位相よりも細かく、関数解析ではあまり使用されません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$

双対空間上には、の弱い位相よりも弱い位相があり、これを弱*位相と呼びます。これは、上の値域が連続するすべての評価写像となる 上の最も粗い位相です。その重要性は、バナッハ・アラオグルの定理に由来します。 ${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$

バナッハ・アラオグル定理は、コンパクトハウスドルフ空間の無限積に関するティコノフの定理を使って証明できる。が可分なとき、双対の単位球は弱*位相において距離化可能なコンパクトである。 ^[35]${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\prime }}$

の双対はと等長的に同型である。上の任意の有界線形汎関数に対して、となる 一意の元が存在する。${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c_{0},}$${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

の双対はと等長同型である。 および のとき、ルベーグ空間の双対はと等長同型である。${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle L^{q}([0,1])}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

ヒルベルト空間内の任意のベクトルに対して、写像 ${\displaystyle y}$${\displaystyle H,}$$${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

は、上の連続線型関数を定義します。リースの表現定理によれば、上のすべての連続線型関数は、 で一意に定義されたベクトルに対して の形をとります。 この写像は、 からその双対への反線型等長全単射です 。スカラーが実数の場合、この写像は等長同型です。 ${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H'.}$

がコンパクトなハウスドルフ位相空間であるとき、の双対はブルバキの意味でのラドン測度の空間である。 ^[36]質量1の非負測度（確率測度）からなるの 部分集合は、 の単位球の凸w*閉部分集合である。 の極点は 上のディラック測度である。 上のディラック測度の集合はw*位相を備え、 と同相である。${\displaystyle K}$${\displaystyle M(K)}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle M(K)}$${\displaystyle M(K).}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K.}$

^{この結果は、アミール[39]}とカンバーン^[40]によって、と間の乗法バナッハ・マズール距離がの場合に拡張された。定理は距離が^[41] の場合には成立しなくなる。${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle C(L)}$${\displaystyle <2.}$${\displaystyle =2.}$

可換バナッハ代数 では、最大イデアルはまさにディラック測度の核である。${\displaystyle C(K),}$${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

より一般的には、ゲルファンド・マズール定理により、単位可換バナッハ代数の極大イデアルは、その特徴と、集合としてだけでなく位相空間として同一視できる。前者はハルカーネル位相と、後者はw*位相と同義である。この同一視において、極大イデアル空間は、双対の単位球のw*コンパクト部分集合として見ることができる。${\displaystyle A'.}$

すべての単位可換バナッハ代数が、あるコンパクトなハウスドルフ空間に対して の形になるわけではありません。しかし、 を可換C *-代数のより小さなカテゴリに配置すると、このステートメントが成り立ちます。 可換 C*-代数のゲルファントの表現定理は、すべての可換単位C *-代数が空間に等長同型であることを述べています。^[42]ここでの ハウスドルフコンパクト空間は、C*-代数のコンテキストで は のスペクトルとも呼ばれる最大イデアル空間です。${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

がノルム空間である場合、双対の（連続）双対は${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X'}$バイデュアル、または あらゆるノルム空間には自然写像が存在する、 の2番目の双対${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

これは、上の連続線型関数として、つまり の元を定義します。この写像はからへの線型写像です。任意の に対する 正規化関数の存在の結果として、この写像は等長写像であり、したがって単射です。 ${\displaystyle F_{X}(x)}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle F_{X}}$

たとえば、 の双対はと同一視され、 の双対は有界スカラー列の空間と同一視されます。これらの同一視のもとでは、 はから への包含写像です。これは確かに等長ですが、全射ではありません。 ${\displaystyle X=c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty },}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

が全射である場合、ノルム空間は反射的と呼ばれます(以下を参照)。ノルム空間の双対であるため、双対は完全であり、したがって、すべての反射ノルム空間はバナッハ空間です。 ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$

等長埋め込みを用いると、ノルム空間をその双対空間の部分集合として考えるのに慣例となっている。がバナッハ空間であるとき、それは の閉じた線型部分空間として見られる。が反射的でない場合、の単位球は の単位球の真部分集合である。 ゴールドスタインの定理は、ノルム空間の単位球が双対空間の単位球において弱稠密であることを述べている。言い換えれば、双対空間の任意の に対して、のネットが存在し、 ${\displaystyle F_{X},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.}$$

ネットは、双対が分離可能な場合、弱*収束シーケンスに置き換えることができます。一方、は弱逐次完全であるため、 の双対の に含まれない要素は、のシーケンスの弱*極限にはなり得ません。 ${\displaystyle X'}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

以下は、バナッハの著書 (Banach (1932)) の時代まで遡り、ベールのカテゴリー定理に関連するバナッハ空間に関する主な一般的な結果です。この定理によると、完全な計量空間 (バナッハ空間、フレシェ空間、F 空間など) は、内部が空である可算個の閉部分集合の和集合と等しくすることはできません。したがって、バナッハ空間は、すでにそのうちの 1 つと等しくない限り、可算個の閉部分空間の和集合にはなり得ません。可算なハメル基底を持つバナッハ空間は有限次元です。

バナッハ・シュタインハウスの定理はバナッハ空間に限定されるものではなく、例えばがフレシェ空間である場合にも拡張できる。ただし、結論は次のように修正される。同じ仮定のもとで、におけるの近傍が存在し、におけるすべての がで一様有界となる。${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

この結果は、前述のバナッハ同型定理と有界線型写像の標準因数分解の 直接的な結果です。

これはバナッハの同型定理のもう一つの結果であり、からへの連続的な一対一変換に適用され、${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

自然写像が射影的である場合、 ノルム空間は反射的と呼ばれます 。反射ノルム空間はバナッハ空間です。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

これはハーン・バナッハの定理の結果です。さらに、開写像定理により、バナッハ空間からバナッハ空間への有界線型演算子が存在する場合、それは反射的です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$

実際、バナッハ空間の双対が分離可能であれば、 は分離可能です。 が反射的かつ分離可能であれば、 の双対は分離可能であり、 も分離可能です。 ${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

ヒルベルト空間は反射的である。空間が反射的となるのは、より一般的には、ミルマン・ペティスの定理により、一様凸空間は反射的である。空間は反射的ではない。これらの非反射空間の例では、双対はよりも「はるかに大きい」。すなわち、ハーン・バナッハの定理によって与えられたの へ の自然な等長埋め込みのもとで、商は無限次元であり、さらには非分離である。しかし、ロバート・C・ジェームズは、商が1次元であるような非反射空間の例^[43]を構築した。これは通常「ジェームズ空間」と呼ばれ、 ^[44]で示される。さらに、この空間はその双対に等長同型である。 ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X^{\prime \prime }/X}$${\displaystyle J,}$${\displaystyle J^{\prime \prime }/J}$${\displaystyle J}$

が反射的である場合、のすべての閉じた有界凸部分集合は弱コンパクトになります。ヒルベルト空間では、単位球の弱コンパクト性は次のようによく使用されます。 のすべての有界列には弱収束する部分列があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$

単位球の弱コンパクト性は、反射空間における特定の最適化問題の解を見つけるためのツールを提供します。たとえば、反射空間の単位球上のすべての凸連続関数は、ある時点で最小値に達します。${\displaystyle B}$${\displaystyle B.}$

前述の結果の特殊なケースとして、 がのすべての連続線型関数上の反射空間であるとき、の単位球上で最大値に達します。Robert C. James の 次の定理は、逆の命題を提供します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \|f\|}$${\displaystyle X.}$

この定理は、弱コンパクト凸集合の特徴を与えるように拡張することができます。

非反射的バナッハ空間には、ノルムを達成しない連続線型関数が存在する。しかし、ビショップ・フェルプス定理^[45]によれば、ノルムを達成する関数は、${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X.}$

バナッハ空間の数列は、双対内の任意の連続線型関数に対して が に収束する場合、ベクトルに弱収束します。の数列は、内の 任意の に対して がスカラー極限に収束する場合、弱コーシー数列です。双対内の数列は、内の任意の に対してがに収束する場合、関数に弱*収束します。バナッハ–シュタインハウス の定理の結果として、弱コーシー数列、弱収束数列、および弱*収束数列はノルム有界です。${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$${\displaystyle L(f),,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$

のシーケンスが弱コーシーシーケンスである場合、上記の極限は双対上の有界線形関数、つまりの双対の元を定義し、 は双対の弱*位相におけるの極限です。バナッハ空間が弱順次完全であるとは、すべての弱コーシーシーケンスが で弱収束する場合です。 これまでの議論から、反射空間は弱順次完全であることがわかります。 ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ヒルベルト空間における正規直交列は、極限がベクトルに等しい弱収束列の簡単な例である。またはの単位ベクトル基底は、弱ヌル列の別の例であり、つまり に弱収束する列 である。バナッハ空間におけるすべての弱ヌル列に対して、与えられた列から にノルム収束するベクトルの凸結合の列が存在する^[47]${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty ,}$${\displaystyle c_{0},}$${\displaystyle \mathbf {0} .}$${\displaystyle \mathbf {0} .}$

の単位ベクトル基底は弱コーシーではない。 の弱コーシー列は弱収束する。なぜなら-空間は弱逐次完備だからである。実際、 の弱収束列はノルム収束する。^{[48]これは が}シュアーの性質を満たすことを意味する。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

弱コーシー列と基底は、H. P. Rosenthalの次の深い結果で確立された二分法の反対の場合です。^[49]${\displaystyle \ell ^{1}}$

この結果を補完するのは、Odell と Rosenthal (1975) です。

ゴールドスタインの定理によれば、 の単位球のすべての元はの単位球内のネットの弱*極限である。 にのすべての元が含まれていない場合、の単位球内のシーケンスの弱*極限である^[52]${\displaystyle B^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle B^{\prime \prime }}$${\displaystyle X.}$

バナッハ空間が可分なとき、弱*位相を備えた双対の単位球は距離化可能なコンパクト空間^[35]となり、双対のすべての要素は上の有界関数を定義する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle x^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$$

この関数は、 のコンパクト位相に対して連続であり、 がの部分集合として実際に である場合に限ります。さらに、を含まない 段落の残りの部分に対しても仮定します。Odell と Rosenthal の前述の結果により、関数は上の連続関数の列の上の点ごとの極限であり、したがって上の最初の Baire クラス関数です。 双対の単位球は 上の最初の Baire クラスの点ごとのコンパクト部分集合です[ ^53]${\displaystyle K}$${\displaystyle x^{\prime \prime }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{1}.}$${\displaystyle x^{\prime \prime }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq X}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K.}$

が可分なとき、双対の単位球はバナッハ・アラオグル定理により弱*コンパクトであり、弱*位相に対して距離化可能である。 ^[35]したがって、双対内のすべての有界列には弱*収束する部分列がある。これは可分反射空間に当てはまるが、この場合は以下に示すように、より多くのことが当てはまる。 ${\displaystyle X}$

バナッハ空間の弱位相が距離化可能であるのは、が有限次元である場合に限る。 ^[54]双対が可分であれば、の単位球の弱位相は距離化可能である。これは特に可分反射バナッハ空間に当てはまる。単位球の弱位相は一般に距離化可能ではないが、シーケンスを使用して弱コンパクト性を特徴付けることができる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

バナッハ空間が反射的であるためには、その空間の各有界列に弱収束する部分列が存在する必要がある。^[56]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

の弱コンパクト部分集合はノルムコンパクトである。実際、 のあらゆる列はエーベルライン・シュムリアンによって弱収束する部分列を持ち、それらはシューアの性質によってノルム収束する。${\displaystyle A}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ell ^{1}.}$

バナッハ空間を分類する方法の 1 つは、タイプとコタイプという確率的な概念を使用することです。これら 2 つは、バナッハ空間がヒルベルト空間からどれだけ離れているかを測定します。

バナッハ空間のシャウダー基底は、任意のベクトルに対して、に依存する一意に定義されたスカラーが存在するという性質を持つベクトルの列である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

シャウダー基底を持つバナッハ空間は必然的に可分です。なぜなら、有理係数を持つ有限線形結合の可算集合（例えば）は稠密だからです。

バナッハ・シュタインハウスの定理から、線型写像はある定数によって一様に制限されることが分かる。上の展開において、 の座標のあらゆるに割り当てる座標関数を と表記する 。これらは双直交関数と呼ばれる。基底ベクトルが ノルムを持つとき、座標関数はの双対においてノルムを持つ。${\displaystyle \left\{P_{n}\right\}}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$${\displaystyle \,\leq 2C}$${\displaystyle X.}$

古典的な可分空間のほとんどは明示的な基底を持つ。ハール系は の基底であり、 三角関数系はのときの基底であり、 シャウダー系はの空間の基底である^{[57] 。}円板代数がの基底を持つ かどうかという問題^{[58]は、1974 年にボチカレフが が}フランクリン系から構成される基底を許容することを示したまで、40 年以上も未解決のままであった。^[59]${\displaystyle \left\{h_{n}\right\}}$${\displaystyle L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .}$${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle C([0,1]).}$${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

基底を持つバナッハ空間内の任意のベクトルは有限階数で一様有界であるの極限であるため、この空間は有界近似性質を満たす。近似性質を満たさない空間の最初の例は、同時にシャウダー基底を持たない可分バナッハ空間の最初の例でもあった。^[60]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{n}(x),}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle X}$

ロバート・C・ジェームズは、バナッハ空間における反射性を基底で特徴づけた。シャウダー基底を持つ空間が反射的であるのは、基底が縮小かつ有界完備である場合に限る。^[61] この場合、双直交関数は、${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

とを2つの -ベクトル空間とします。とのテンソル積は、次の普遍的性質を持つ双線型写像を持つ-ベクトル空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

が-ベクトル空間への任意の双線型写像である場合、次のような唯一の線型写像が存在する。${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle Z_{1},}$${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

のカップルの の下の像は で表され、単純テンソルと呼ばれます。のすべての要素は、このような単純テンソルの有限和です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle x\otimes y,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle X\otimes Y}$

基底ベクトル空間のテンソル積には様々なノルムを置くことができ、その中には1955年にA.グロタンディークによって導入された射影交差ノルムと入射交差ノルムがある。 ^[62]

一般に、完備空間のテンソル積は再び完備ではない。バナッハ空間を扱う場合、2つのバナッハ空間の射影テンソル積^[63]は、射影テンソルノルムを備えた代数テンソル積の完備化であるとよく言われ、同様に、入射テンソル積^[64]についても グロタンディークは特に次のことを証明した^[65]。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$ ここで、はコンパクトなハウスドルフ空間、からへの連続関数のバナッハ空間、からへのボッホナー可測かつ積分可能な関数の空間であり、同型写像は等長である。上記の2つの同型写像は、テンソルをベクトル値関数に送る写像のそれぞれの拡張である。${\displaystyle K}$${\displaystyle C(K,Y)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f\otimes y}$${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

をバナッハ空間とする。テンソル積は有限階数作用素の集合の閉包と等長的に同一視される。 が近似特性を持つとき、この閉包は上のコンパクト作用素の空間と一致する。${\displaystyle X}$${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

あらゆるバナッハ空間に対して、 代数テンソル積の恒等写像を拡張することで得られる自然なノルム線型写像 が存在する。グロタンディークは、近似問題を、が の双対であるときにこの写像が 1 対 1 であるかどうかという問題に関連付けた。 正確には、あらゆるバナッハ空間に対して、写像が 1 対 1 であるためには、 が近似特性を持つ必要がある。^[66]${\displaystyle Y,}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$${\displaystyle X}$

グロタンディークは、とが無限次元バナッハ空間であるときは必ず異なると予想した。これは1983年にジル・ピシエによって反証された。 ^[67]ピシエは、とが等しい 無限次元バナッハ空間を構築した。さらに、エンフロの例と同様に、この空間は近似特性を持たない「手作り」の空間である。一方、シャンコフスキーは古典空間が近似特性を持たないことを証明した。^[68]${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\left(\ell ^{2}\right)}$

バナッハ空間のノルムが内積に関連付けられるための必要十分条件は、平行四辺形の恒等式である。 ${\displaystyle X}$

例えば、次の式が成り立つ場合のみ、ルベーグ空間は ヒルベルト空間となる。 この恒等式が満たされる場合、関連する内積は分極恒等式によって与えられる。実スカラーの場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle p=2.}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

複素スカラーの場合、内積を分極恒等式 において- 線形かつ反線形となるように定義すると、次のようになります。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$$

平行四辺形の法則が十分であることを確認するには、実数の場合に が対称であること、複素数の場合に がエルミート対称性特性とを満たすことを観察します。平行四辺形の法則は、が で加法的であることを意味します 。したがって、 は有理数上で線形であり、したがって連続性により線形であることがわかります。 ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle x.}$

ヒルベルト空間に同型な（等長的ではない）空間の特徴付けはいくつかある。平行四辺形法則は2つ以上のベクトルに拡張することができ、定数を伴う両側不等式の導入によって弱めることができる。クワピエは、 任意の整数とすべてのベクトル族に対して、バナッハ空間がヒルベルト空間に同型であることを証明した。^[69] ここで、は符号の可能な選択肢の平均を表す。 同じ論文で、クワピエは、フーリエ変換に対するバナッハ値のパーセバルの定理の妥当性が、ヒルベルト空間に同型のバナッハ空間を特徴付けることを証明した。 ${\displaystyle c\geq 1}$$${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \pm 1.}$

リンデンシュトラウスとツァフリリは、すべての閉線型部分空間が補完的である（つまり、有界線型射影の値域である）バナッハ空間はヒルベルト空間と同型であることを証明した。^{[70]この証明は、高次元中心対称凸体のユークリッド断面に関する}ドヴォレツキーの定理に基づいている。言い換えれば、ドヴォレツキーの定理は、任意の整数に対して、と比較して十分に大きい次元を持つ任意の有限次元ノルム空間には、次元ユークリッド空間 にほぼ等長な部分空間が含まれることを述べている。${\displaystyle n,}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$

次の結果は、いわゆる同次空間問題の解を与える。無限次元バナッハ空間は、その無限次元閉部分空間すべてに同型である場合に同次であると言われる。 に同型なバナッハ空間は同次であり、バナッハはその逆を求めた。^[71]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

無限次元バナッハ空間が遺伝的に分解不可能であるとは、その部分空間が2つの無限次元バナッハ空間の直和に同型にならない場合を言う。ガワーズ二分法定理^{[72]は、すべての無限次元バナッハ空間は、}無条件基底を持つ部分空間、または遺伝的に分解不可能な部分空間のいずれかを含み、特にその閉超平面に同型ではないことを主張している。^[73]が同次である 場合、それはしたがって無条件基底を持つ必要がある。したがって、コモロウスキーとトムチャック–イェーガーマンによって得られた無条件基底を持つ空間の部分解^[74]から、はに同型であることがわかる。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{2}.}$

がバナッハ空間からバナッハ空間への等長変換である場合（ただし、と は両方とも上のベクトル空間である）、マズール・ウラム定理によれば、 は必ずアフィン変換になる。特に、これが の零点をの零点に写像する場合、 は必ず線型になる。この結果は、バナッハ空間、およびより一般的にはノルム空間における計量が、それらの線型構造を完全に捉えていることを意味する。 ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle T}$

有限次元バナッハ空間は、実ベクトル空間と同じ次元を持つ場合にのみ、位相空間として同相です。

アンダーソン-ケーデックの定理（1965-66）は、任意の2つの無限次元可分バナッハ空間が位相空間として同相であることを証明している[75]。ケーデックの定理はトルンチクによって拡張され、トルンチクは、任意の2つのバナッハ空間が同相であるためには、それらが稠密な部分集合の最小濃度である密度特性が同じであることを証明し^た[ 76 ^]。

2つのコンパクトなハウスドルフ空間とが同相なとき、バナッハ空間と等長である。逆に、が と の間の（乗法的）バナッハ・マズール距離に同相でない場合は、上記のアミールとカンバーンの結果がわかるように、 は 以上でなければならない。無数コンパクト計量空間は異なる同相型を持つことができるが、ミルティンによる次の結果が得られる：^[77]${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2},}$${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$${\displaystyle 2,}$

可算無限コンパクトハウスドルフ空間の場合は状況が異なります。すべての可算無限コンパクトは、順序位相（は可算無限順序数） を備えた順序数の閉区間に同相です。 ^[79]このとき、 バナッハ空間はC (⟨1, α ⟩)に等長です。 が2つの可算無限順序数である場合、空間C (⟨1, α ⟩)とC (⟨1, β ⟩)が同型であるための必要十分条件はβ < α ^ωです。^[80] たとえば、バナッハ空間は 互いに同型ではありません。 ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$$${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

以下の表の記号の用語集:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$実数または複素数の体を表す ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$コンパクトなハウスドルフ空間です。
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$は、ヘルダー共役である実数であり、したがって、${\displaystyle 1<p,q<\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$は集合の-代数です。${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$は集合の代数です（ ba 空間などの有限の加法性のみを必要とする空間の場合）。
• ${\displaystyle \mu }$は変動のある測度です。正の測度は、加算的に可算な -代数上で定義される実数値の正の集合関数です。 ${\displaystyle |\mu |.}$${\displaystyle \sigma }$

バナッハ空間では、微分の概念がいくつか定義されます。詳細については、フレシェ微分とガトー微分に関する記事を参照してください。フレシェ微分は、全微分の概念をバナッハ空間に拡張することを可能にします。ガトー微分は、方向微分を局所凸位相 ベクトル空間に拡張することを可能にします。フレシェ微分可能性は、ガトー微分可能性よりも強い条件です。準微分は、方向微分の別の一般化であり、ガトー微分可能性よりも強い条件を意味しますが、フレシェ微分可能性よりも弱い条件を意味します。

関数解析におけるいくつかの重要な空間、例えば、無限回微分可能関数全体の空間や、上の超関数全体の空間は完備だが、ノルムベクトル空間ではないため、バナッハ空間ではない。フレシェ空間では依然として完備計量 が存在するが、LF 空間はフレシェ空間の極限として生じる完備一様ベクトル空間である。 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• 空間（数学）  - 構造が追加された数学的な集合
  • フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完全な計量空間でもある。
  • ハーディ空間 – 複素解析における概念
  • ヒルベルト空間 – 位相ベクトル空間の一種
  • L-半内積 – すべてのノルム空間に適用される内積の一般化
  • ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元 p ノルム空間を一般化する関数空間
  • ソボレフ空間 – 数学における関数のベクトル空間
  • バナッハ格子 – 格子の互換性のある構造を持つバナッハ空間
• バナッハ円板
• バナッハ多様体 – バナッハ空間をモデルにした多様体
  • バナッハ束 – 繊維がバナッハ空間を形成するベクトル束Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 歪みの問題
• 補間空間
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 凸面の係数と特性
• スミス空間 – 普遍コンパクト集合を持つ完全コンパクト生成局所凸空間Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ツィレルソン空間

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