トポロジの比較

位相幾何学および関連する数学の分野では、与えられた集合上のすべての可能な位相の集合は、半順序集合を形成します。この順序関係は、位相の比較に使用できます。

集合上の位相は、「開いている」と考えられる部分集合の集合として定義できます。(別の定義では、「閉じている」と考えられる部分集合の集合です。位相を定義するこれらの 2 つの方法は、開集合の補集合は閉じており、その逆もまた同様であるため、本質的に同等です。以下では、どちらの定義が使用されるかは問題ではありません。)

明確にするために、読者はトポロジーを位相空間の 開集合の族として考えるべきです。なぜなら、それが「トポロジー」という言葉の標準的な意味だからです。

τ ₁とτ _{2 を}集合X上の2つの位相とし、 τ _1はτ ₂に含まれるものとする。

${\displaystyle \tau_{1}\subseteq \tau_{2}}$。

つまり、τ _{1のどの要素も}τ ₂の要素です。この場合、位相τ _1はτ ₂よりも粗い(弱い、または小さい)位相であるとされ、 τ _2はτ ₁よりも細かい(強い、または大きい)位相であるとされます。 ^{[nb 1]}

さらに

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

τ ₁はτ ₂より 厳密に粗く、τ ₂はτ ₁より厳密に細かいと言えます。^[1]

二項関係⊆は、X上のすべての可能な位相の集合上の半順序関係を定義します。

X上の最も細かい位相は離散位相です。この位相ではすべての部分集合が開きます。X 上の最も粗い位相は自明位相です。この位相では空集合と空間全体のみが開集合として認められます。

関数空間と測度空間では、多くの場合、複数の位相が考えられます。複雑な関係については、 ヒルベルト空間上の演算子の集合の位相を参照してください。

デュアルペア上のすべての可能な極性トポロジは、弱いトポロジよりも細かく、強いトポロジよりも粗いです。

複素ベクトル空間 C ^{n は}、通常の (ユークリッド) 位相、またはザリスキー位相のいずれかを備えることができます。後者では、C ⁿの部分集合Vが閉じている場合と、それが多項式方程式系のすべての解から構成されている場合とで異なります。このようなV は通常の意味で閉集合ですが、その逆は当てはまらないため、ザリスキー位相は通常の位相よりも厳密に弱い位相です。

τ ₁とτ _{2 を}集合X上の2つの位相とします。このとき、次のステートメントは同値です。

• τ ₁ ⊆ τ ₂
• 恒等写像id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) は連続写像である。
• 恒等写像 id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) は強く/相対的に開いた写像である。

(恒等写像 id _{X は}全射であるため、相対的に開いている場合のみ、強開いていることになります。)

上記の同等の記述から導かれる2つの直接的な帰結は、

• 連続写像f  : X → Y は、 Y上の位相が粗くなるか、 X 上の位相が細かくなっても連続のままです。
• 開いた（閉じた）写像f  : X → Y は、 Y上の位相がより細かくなるか、 X 上の位相がより粗くなる場合でも、開いたまま（閉じたまま）の ままです。

近傍基数を使って位相を比較することもできます。集合X上の 2 つの位相をτ ₁とτ _2とし、 i = 1,2に対してx ∈ Xにおける位相τ _iのローカル基数をB _i ( x )とします。このとき、すべてのx ∈ Xに対して、 B ₁ ( x ) の各開集合U ₁にB ₂ ( x )の開集合U ₂が含まれる場合のみ、τ ₁ ⊆ τ ₂となります。直感的には、これは理にかなっています。より細かい位相には、より小さな近傍があるはずです。

集合X上のすべての位相の集合は、半順序関係 ⊆ とともに、任意の交差に対しても閉じている完全な格子を形成します。 ^[2] つまり、X上の任意の位相のコレクションには、交差点(または最小値) と結合(または最大値) があります。位相のコレクションの交差点は、それらの位相の交差点です。ただし、結合は一般にそれらの位相の和集合ではなく(2 つの位相の和集合が位相である必要はありません)、和集合 によって生成される位相です。

すべての完全格子は有界格子でもあり、つまり最大元と最小元を持ちます。位相の場合、最大元は離散位相であり、最小元は自明位相です。

集合上の位相の束は補集合である。つまり、上の位相が与えられたとき、その交差が自明位相であり、和集合によって生成される位相が離散位相であるような上の位相が存在する。 ^{[3] [4]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \cap \tau '}$${\displaystyle \tau \cup \tau '}$

集合に少なくとも3つの要素がある場合、上の位相格子はモジュラではないため、^[5]分配的でもありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• 初期位相、その集合からの写像の族を連続にするための集合上の最も粗い位相
• 最終位相、つまり、その集合への写像の族を連続させる集合上の最も微細な位相