スミス空間

関数解析および関連する数学の分野において、スミス空間は、普遍コンパクト集合、つまり他のすべてのコンパクト集合を吸収するコンパクト集合（つまり、ある に対して）を持つ、完全に コンパクトに生成された 局所凸位相ベクトル空間 です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T\subseteq X}$${\displaystyle T\subseteq \lambda \cdot K}$${\displaystyle \lambda >0}$

スミス空間は、位相ベクトル空間の双対性理論のいくつかのバージョンでバナッハ空間の双対としてスミス空間を導入したマリアンヌ・ルース・フロイントリッヒ・スミスに^ちなんで名付けられました。すべてのスミス空間はステレオタイプであり、バナッハ空間とステレオタイプの双対関係にあります。^{[2] [3]}

• 任意のバナッハ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間^[4]はスミス空間であり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star}}$

• 逆に、任意のスミス空間に対して、そのステレオタイプ双対空間はバナッハ空間です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$

スミス空間は、ブラウナー空間の特殊なケースです。

• 双対定理からわかるように、任意のバナッハ空間のステレオタイプ双対空間はスミス空間である。の単位球の極はの普遍コンパクト集合である。 がのノルム双対空間を表し、 が-弱位相を持つ空間を表す場合、 の位相はの位相と の位相の間にあるため、自然な（線型連続）全単射が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$ ${\displaystyle K=B^{\circ}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X'}$

${\displaystyle X^{*}\to X^{\star }\to X'.}$

が無限次元の場合、これらの位相のうち2つは重ならない。同時​​に、無限次元の場合、空間は樽状ではない（がバナッハ空間として反射的である場合、マッキー空間でもない^[5]）。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$${\displaystyle X}$

• が局所凸空間内の凸バランスコンパクト集合である場合、その線型スパンはを普遍コンパクト集合として持つスミス空間の一意の構造を持ちます（ 上の位相も同じです）。^[6]${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }K=\operatorname {span} (K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$
• が（ハウスドルフ）コンパクトな位相空間で、上の連続関数のバナッハ空間（通常のノルム超）である場合、 上のラドン測度と内のコンパクト集合上の一様収束の位相を持つステレオタイプ双対空間はスミス空間である。 が位相群の構造を備えている特別な場合、空間はステレオタイプ群代数の自然な例となる。^[7]${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$${\displaystyle M=G}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$
• バナッハ空間 がスミス空間となるのは、有限次元の場合のみです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ステレオタイプ空間
• ブラウナー空間

• スミス、 MF (1952)。「線形空間におけるポントリャギン双対定理」。Annals of Mathematics。56 (2): 248–253。doi :10.2307/1969798。JSTOR  1969798。
• Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」.数学科学ジャーナル. 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Akbarov, SS (2009). 「指数型の正則関数と代数連結単位元を持つスタイン群の双対性」.数学科学ジャーナル. 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.
• Furber, RWJ (2017). 確率と量子基礎におけるカテゴリカル双対性(PDF) (PhD). ラドバウド大学。