サブ線形関数

線型代数において、ベクトル空間上の部分線型関数（または関数解析でより一般的に使用される関数）は、準半ノルムまたはバナッハ関数とも呼ばれ、半ノルムの特性の一部のみを備えた実数値関数です。半ノルムとは異なり、部分線型関数は非負の値である必要はなく、絶対同次である必要もありません。半ノルム自体は、よりよく知られているノルムの概念を抽象化したものです。ノルムでは、半ノルムは、非ゼロのベクトルを非ゼロの値にマッピングする必要がないことを 除き、ノルムの定義特性をすべて備えています。 ${\displaystyle X}$

関数解析では、バナッハ関数という名前が使われることがありますが、これは、ハーン・バナッハの定理の一般的な定式化を適用するときに最もよく使われることを反映しています。部分線形関数の概念は、ステファン・バナッハがハーン・バナッハの定理の彼自身のバージョンを証明したときに導入されました。^[1]

以下に説明するように、コンピュータ サイエンスには「部分線形関数」と呼ばれる 別の概念もあります。

を体上のベクトル空間とし、を実数または複素数とする。上の 実数値関数は${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$サブリニア関数（または部分線形関数（）とも呼ばれ、${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$準半正規分布またはバナッハ汎関数は、次の2つの性質を持つ：^[1]

1. 正同次性/非負同次性： ^[2] すべての実数とすべての${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$
   • この条件は、すべての正の実数とすべての${\displaystyle p(rx)\leq rp(x)}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in X.}$
2. 劣加法性/三角不等式： ^[2] すべての${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
   • この劣加法性条件は実数値である必要があります。${\displaystyle p}$

関数が呼び出される${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$陽性^[3]または全ての場合において非負であるが、一部の著者^[4]に定義している。${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X,}$代わりに、これらの定義が同等ではないこと${\displaystyle p(x)\neq 0}$${\displaystyle x\neq 0;}$対称関数は、すべての に対してである の劣加法対称関数は必ず非負である。^{[証明 1]} 実ベクトル空間上の劣線型関数が対称関数となるのは半ノルムます。実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の劣線型関数が半ノルム となるのはバランスのとれた関数場合に限ります。または、同等に、単位長さスカラー（ を満たすに対して、すべての${\displaystyle p(-x)=p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle |u|=1}$${\displaystyle x\in X.}$

で表される 上のすべての部分線型関数の集合は、と宣言することで部分的に順序付けることができ、すべての に対してである場合に限ります。部分線型関数は、この順序での最小元である場合に極小と 呼ばれます。部分線型関数が極小となるのは、それが実線型関数である場合に限ります。^[1]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\#},}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X^{\#}}$

あらゆるノルム、半ノルム、実線形関数は、部分線形関数である。上の恒等関数は 、正でも半ノルムでもない部分線形関数の例である（実際、線形関数でもある）。この写像の否定についても同様である。 ^[5] より一般的には、任意の実数に対して、写像は 上の部分線形関数であり、さらに、あらゆる部分線形関数はこの形式である。具体的には、および のとき、および${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto -x.}$${\displaystyle a\leq b,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S_{a,b}:\;&&\mathbb {R} &&\;\to \;&\mathbb {R} \\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&{\begin{cases}ax&{\text{ if }}x\leq 0\\bx&{\text{ if }}x\geq 0\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle a:=-p(-1)}$${\displaystyle b:=p(1)}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

とが実ベクトル空間上の部分線型関数であるならば、写像も同様である。より一般的には、が実ベクトル空間上の部分線型関数の空でない任意の集合であり、すべてに対してが[5]上の部分線型関数であるならば、写像^も同様である。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$

劣加法、凸、かつ を満たす 関数は、正同次でもあります (後者の条件はにおけるの例が示すように必要です)。が正同次である場合、それが凸となるのは、それが劣加法である場合のみです。したがって、 と仮定すると、劣加法性、凸性、および正同次性のうちの任意の 2 つの特性は、3 番目の特性を意味します。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(0)\leq 0}$${\displaystyle p(0)\leq 0}$${\displaystyle p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)\leq 0}$

あらゆる劣線型関数は凸関数である。${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

がベクトル空間上の部分線型関数である場合、^{[証明 2] [3]} 任意の に対してとなり、これはとの少なくとも 1 つは非負でなければならないことを意味する。つまり、任意の に対してとなる。^[3] さらに、 が実ベクトル空間上の部分線型関数である場合、によって定義される写像は半ノルムとなる。^[3]${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(-x)}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

の劣加法性は、すべてのベクトルに対して成立することを保証する^{[1] [証明3]。} したがって、が対称である場合、逆三角不等式はすべてのベクトルに対して成立する。${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$ $${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in X,}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

を定義すると、劣加法性は、集合上のの値が定数で に等しいことも保証します^{[証明 4]} 特に、 が のベクトル部分空間である場合、で表される割り当ては、を満たす商空間上の明確に定義された実数値のサブ線形関数です。が半ノルムである場合、 は商空間上の通常の標準ノルムです${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$${\displaystyle p(x).}$${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -\ker p=\ker p}$${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$${\displaystyle {\hat {p}},}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p}$${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

仮説の両辺(ただし) にを加え、それを結論と組み合わせると となり 、さらに多くの不等式が得られます。たとえば、 厳密な不等式の片側の式は、記号を に置き換え (またはその逆)、閉じ括弧を隣接する加数の右 (または左) に移動することで、もう一方の側から取得できます(他のすべての記号は固定され、変更されません)。 ${\displaystyle bc}$${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {z} }$

が実ベクトル空間上の実数値部分線型関数である場合（またはが複素数である場合、実ベクトル空間とみなされると）、写像は実ベクトル空間上の半ノルムを定義します。これは、 ^[3]に関連付けられた半ノルムと呼ばれます。実ベクトル空間または複素数ベクトル空間上の 部分線型関数が対称関数である場合、かつその場合のみ、前述と同様にです。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=q}$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

より一般的には、 が（実数または複素数）ベクトル空間上の実数値サブ線形関数である場合、この上限が常に実数である（つまり、 と等しくなることはない）場合、は の半ノルム を定義します。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty }$

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、以下は同値である: ^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$は線形関数です。
2. すべての${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. すべての${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$最小のサブ線形関数です。

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、次のような線形関数が存在する。^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$

が実ベクトル空間であり、が上の線型関数であり、が上の正の非線型関数であるとき、上が成り立つことは、^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

実数値関数または複素数値関数が、 の定義域に属する任意の に対して である場合、 が部分線型関数に支配されているという。 が上の実線型関数である場合、 ^{[6] [1]}が（つまり）に支配されている場合、かつその場合のみ である。 さらに、が半ノルムまたはその他の対称写像（定義により がすべての に対して成り立つことを意味する）である場合、かつその場合のみ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\leq p}$$${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(-x)=p(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle |f|\leq p.}$

が実数または複素数上の位相ベクトル空間（TVS）であり、が上の部分線型関数であるとする と、次の式は同値である：^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$連続している。
2. ${\displaystyle p}$0 で連続である。
3. ${\displaystyle p}$は 上で一様連続である。${\displaystyle X}$

が正の場合、このリストは次のように拡張される可能性があります: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$オープンしています${\displaystyle X.}$

が実TVSで、が上の線型関数で、が上の連続部分線型関数であるならば、上ではが連続であることを意味する。^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

この概念は、同次かつ劣加法的である演算子に拡張できます。この場合、条件を理解するには、 共役領域が、たとえば順序付きベクトル空間であることだけが必要です。

コンピュータサイエンスでは、関数が漸近表記でまたはである場合、その関数は亜線型と呼ばれます（小文字のに注意）。正式には、任意の与えられたに対してとなるような が存在する場合のみ、となります^[8]。 つまり、 はどの線型関数よりも遅く増加します。この 2 つの意味を混同しないでください。バナッハ関数は凸ですが、亜線型増加の関数の場合はほぼ逆が当てはまります。つまり、すべての関数は、亜線型増加の凹関数によって上限が制限されます。^[9]${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle o}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(n)<cn}$${\displaystyle n\geq N.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
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• 超加法性 – 関数の性質

証明

• Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素論の要素』（第2版）. ボストン: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.