総変動

数学において、全変化は、関数または測度の共域の（局所的または全体的）構造に関連する、わずかに異なるいくつかの概念を識別します。区間[ a , b ] ⊂ Rで定義された実数値連続関数fの場合、定義区間におけるその全変化は、 x ∈ [ a , b ] に対して、媒介変数方程式x ↦ f ( x )を持つ曲線の1 次元弧長の測度です。全変化が有限である関数は、有界変化の関数と呼ばれます。

1つの実変数の関数の全変分の概念は、カミーユ・ジョーダンの論文（Jordan 1881）^[1]で初めて導入されました。彼はこの新しい概念を使用して、変分が制限された不連続周期関数のフーリエ級数の収束定理を証明しました。しかし、この概念を複数の変数の関数に拡張することは、さまざまな理由から簡単ではありません。

定義1.1.区間上で定義される実数値（またはより一般的には複素数値）関数の全変化は、量 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

ここで、上限は与えられた区間のすべての分割の集合上を通ります。つまり、 となります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}$

定義1.2. ^[2] Ω をR ⁿの開集合とする。L 1 ( Ω )に属する関数fが与えられたとき、 Ωにおけるfの全変化は^次のように定義される。

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

どこ

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$は、に含まれるコンパクト台を持つ連続微分可能なベクトル関数の集合であり、 ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$は本質的な最高 規範であり、
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$発散演算子です。

この定義では、与えられた関数の定義域が有界集合である必要はありません。 ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Saks (1937, p. 10) に従って、可測空間上の符号付き測度 を考える。すると、それぞれ 上変分と下変分と呼ばれる2つの集合関数とを定義することができる。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

明らかに

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

定義1.3.符号付き測度の変分（絶対変分とも呼ばれる）は集合関数である ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

そしてその全変動は定義空間全体におけるこの測度の値として定義される。すなわち

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

サックス（1937、p. 11）は、ハーン・ジョルダン分解を証明するために上変分と下変分を使用している。この定理の彼のバージョンによれば、上変分と下変分はそれぞれ非負の測度と非正の 測度である。より現代的な表記法を使用して定義する。

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

とは、2つの非負の測度であり、 ${\displaystyle \mu ^{+}}$${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

最後の小節は、表記法の誤用により、全変化小節と呼ばれることもあります。

測度が複素数値、すなわち複素測度である場合、その上限と下限の変化は定義できず、ハーン・ジョルダン分解定理はその実部と虚部にのみ適用できる。しかし、ルディン（1966、pp. 137–139）に従って、複素数値測度の全変化を次のように 定義することは可能である。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

定義1.4.複素数値測度の変分は集合関数である${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

ここで、上限は、測定可能な集合を可算個の互いに素な測定可能な部分集合に 分割するすべての部分集合に対して取られます。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

この定義は、実数値の符号付き測度の場合の 上記の定義と一致します。${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

このように定義された変化は正の測度であり（Rudin (1966, p. 139)を参照）、 1.3が符号付き測度の場合に定義される変化と一致します。その総変化は上記のように定義されます。この定義は、がベクトル測度の場合にも適用されます。その場合、変化は次の式で定義されます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

ここで、上限は上記の通りです。この定義は、空間の有限分割のみを考慮する必要があるため、Rudin (1966、p. 138) の定義よりも若干一般的です。つまり、有限加法測度の全変化を定義するためにも使用できることを意味します。 ${\displaystyle X}$

確率測度の全変動はちょうど1なので、そのような測度の特性を調べる手段としては興味深くない。しかし、μとνが確率測度である場合、確率測度の全変動距離は次のように定義できる。ここで、ノルムは符号付き測度の全変動ノルムである。という特性を使用すると、最終的には同等の定義に達する。 ${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

そしてその値は重要ではありません。上記の係数は通常省略されます（記事「確率尺度の総変動距離」の慣例に従って）。非公式には、これは2つの確率分布が同じイベントに割り当てることができる確率の最大差です。カテゴリ分布の場合、総変動距離は次のように記述できます。 ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

次のように前の定義を半分にすることで、 の値に正規化することもできます 。${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$^[3]

関数の全変化は、定義1.1と1.2の関数の上限としてではなく、与えられた関数を含む積分として表すことができます。 ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$

定理1.区間上で定義された微分可能関数の全変化は、リーマン積分可能であれば 次の式で表される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

が微分可能かつ単調である場合、上記は次のように簡略化される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}$

任意の微分可能関数 に対して、定義域区間 を、が局所的に単調である部分区間( )に分解できます。この場合、におけるの全変化は、これらの部分区間上の局所変化の合計として表すことができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}$${\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}$

定理2.クラスの有界開集合上に定義された関数が与えられた場合、の全変化は次の式で表される。 ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$。

証明の最初のステップは、まずガウス・オストログラツキーの定理から導かれる等式を証明することです。

定理の条件の下では、次の等式が成り立ちます。

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

ガウス・オストログラツキーの定理より：

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

定義により の境界でゼロになる場所は次のとおりです。${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

定理の条件の下で、補題から次のことが分かります。

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

最後の部分は省略できます。定義により、その本質的な上限は最大でも 1 だからです。 ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

一方、 および を考えます。これは、における の、同じ積分による近似値です。は において稠密であるため、これを行うことができます。ここで、 を再び補題に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \theta _{N}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

これは、の収束する数列があり、であることがわかっていることを意味します。QED${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

証明から、至高の境地に達するのは

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

関数 の全変化が有限である場合、 その関数は有界変化であると言われます。${\displaystyle f}$

全変動は、有界変動の測度の空間上で定義されるノルムです。集合の σ 代数上の測度の空間は、このノルムに対するバナッハ空間であり、 ca 空間と呼ばれます。これは、同じノルムを持つ有限加法（可算加法ではなく）測度で構成される、より大きなバナッハ空間であるba 空間に含まれています。ノルムに関連付けられた距離関数は、2 つの測度μとνの間の全変動距離を生み出します。

R上の有限測度の場合、測度μの全変化と関数の全変化の関係は、上で述べたように次のようになる。μが与えられたとき、関数を次のように 定義する。${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

すると、符号付き測度μの全変化は、上記の意味での関数の全変化に等しい。一般に、符号付き測度の全変化は、ジョルダンの分解定理を用いて次のよう に定義できる。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

可測空間上の任意の符号付き測度μに対して。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

全変分は、実数値関数の空間（1変数の関数の場合）または積分可能関数の空間（多変数の関数の場合）で定義される非負の 実数値関数と見ることができます。関数として、全変分は、最適制御、数値解析、変分法など、特定の問題の解がその値を最小化する必要がある数学と工学のいくつかの分野で応用されています。例として、全変分関数の使用は、次の2種類の問題で一般的です。

• 微分方程式の数値解析：微分方程式の近似解を求める科学です。これらの問題への全変化の応用については、「全変化の減少」という記事で詳しく説明されています。
• 画像ノイズ除去:画像処理において、ノイズ除去は、データ転送やセンシングなどの電子的手段で取得したデータから再構成された画像のノイズを低減するために使用される一連の手法です。「全変動ノイズ除去」は、画像ノイズ低減への全変動の適用の名称です。詳細については、(Rudin、Osher、Fatemi 1992) および (Caselles、Chambolle、Novaga 2007) の論文を参照してください。このモデルをカラー画像に適切に拡張した Colour TV は、(Blomgren、Chan 1998) に記載されています。

• 制限された変動
• p-変動
• 総変動は減少している
• トータルバリエーションノイズ除去
• 二次関数
• 確率測度の総変動距離
• コルモゴロフ・スミルノフ検定
• 異方性拡散

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1つの変数

• PlanetMathの「Total Variation」。

1つ以上の変数

• 数学百科事典における有界変化関数

測度論

• ローランド、トッド。「全変動」。MathWorld。。
• PlanetMathでの Jordan 分解。
• 数学百科事典のジョルダン分解

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007)、TV ノイズ除去問題の解の不連続集合といくつかの拡張、SIAM、マルチスケール モデリングとシミュレーション、vol. 6 n. 3、2011-09-27 にオリジナルからアーカイブ(画像処理のノイズ除去問題における全変動の応用を扱った作品)。

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• Tony F. Chanと Jackie (Jianhong) Shen (2005)、「Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods」、SIAM、ISBN 0-89871-589-X (Rudin、Osher、Fatemi によって開始された現代の画像処理における Total Variations の詳細な解説と広範な応用が含まれています)。