歪みの問題

数学の一分野である関数解析において、歪み問題とは、与えられたバナッハ空間内の単位球面を、同値ノルムを用いてどれだけ歪ませることができるかを決定することである。具体的には、バナッハ空間Xが λ 歪み可能であるとは、 X上の同値ノルム | x |が存在し、 X内のすべての無限次元部分空間Yに対して、

${\displaystyle \sup _{y_{1},y_{2}\in Y,\|y_{i}\|=1}{\frac {|y_{1}|}{|y_{2}|} }\geq \lambda }$

(歪み (数学)を参照)。すべてのバナッハ空間は自明に 1 歪み可能であることに注意する。バナッハ空間は、ある λ > 1 に対して λ 歪み可能である場合歪み可能であるとされ、任意の λ に対して λ 歪み可能である場合任意歪み可能であるとされる。歪み可能性は、1960 年代に初めてバナッハ空間の重要な特性として現れ、James (1964) と Milman (1971) によって研究された。

ジェームズはc ₀と ℓ ¹は歪まないことを証明した。ミルマンは、 X がバナッハ空間であり、それが1 ≤ p < ∞に対してc ₀または ℓ ^pの同型コピーを含まない場合(シーケンス空間を参照)、 Xの無限次元部分空間は歪む可能性があることを示した。したがって、歪みの問題は現在、 1 < p < ∞に対して、すべてが可分かつ一様凸である 空間 ℓ ^p上で主に関心を集めている。

可分かつ一様凸空間では、歪曲可能性は、 Xの球面上で定義されたすべての実数値リプシッツ関数 ƒ が無限次元部分空間の球面上で安定するかどうかという、一見より一般的な問題と同等であることが容易にわかります。つまり、すべての δ > 0 に対してXの無限次元部分空間Yが存在し、すべてのy  ∈  Yに対して|a −  ƒ ( y )| < δであり、|| y || = 1 となるような実数 a ∈ Rが存在するかどうかです。しかし、Odell & Schlumprecht (1994) の結果から、 ℓ ¹上では安定しないリプシッツ関数が存在することがわかります。ただし、この空間は James (1964) によって歪曲可能ではありません。可分ヒルベルト空間では、歪みの問題は、正の距離で分離され、かつすべての無限次元閉部分空間と交差する単位球面の部分集合が存在するかどうかという問題と同等である。バナッハ空間の多くの性質とは異なり、歪みの問題はヒルベルト空間でも他のバナッハ空間と同様に困難であるように思われる。可分ヒルベルト空間、および他の ℓ ^p空間、1 < p < ∞ では、歪みの問題は Odell と Schlumprecht (1994) によって肯定的に解決され、Schlumprecht (1991) によって構築された最初の既知の任意に歪み可能な空間を使用して、ℓ ²が任意に歪み可能であることが示された。

• ツィレルソン空間
• バナッハ空間