バナッハ・アラオグル定理

を基礎となる体と表す${\displaystyle X}$による${\displaystyle \mathbb {K} ,}$これは実数です${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} .}$この証明では、極集合、双対システム、連続線形作用素など 、記事に記載されている基本的な性質のいくつかを使用します。

証明を始めるにあたり、いくつかの定義と容易に検証できる結果を思い出す。${\displaystyle X^{\#}}$弱*トポロジーを備えている${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$このハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間は、${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ スペース${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$常に完全なTVSですが、${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$完全な空間にならない可能性があり、それがこの証明でその空間が関係する理由です${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$具体的には、この証明では、完全ハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトであるのは、それが閉じていて完全に有界で ある場合（かつその場合に限る）であるという事実を利用します。重要なのは、部分空間の位相が${\displaystyle X^{\prime }}$から継承する${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$に等しい${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$これは、任意の${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ネットの中に${\displaystyle X^{\prime }}$収束して${\displaystyle f}$これらのトポロジーのいずれかにおいて、それが収束する場合に限り、${\displaystyle f}$もう一方のトポロジーでは（2つのトポロジーが等しいのは、それらがまったく同じ収束ネットを持つ場合のみであるため、この結論が導かれる）。

トリプル${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$は、異なるものの、二重のペアリングである。${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$一般的に、双対システムであるとは保証されていません。特に明記しない限り、すべての極性セットは標準的なペアリングに関して取られます。${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

させて${\displaystyle U}$ 起源の近隣である${\displaystyle X}$そして、以下を許可します。

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$極性を持つ${\displaystyle U}$標準的なペアリングに関して${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$;
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$双極性障害である${\displaystyle U}$に関して${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$;
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$極性を持つ${\displaystyle U}$正準双対システムに関して${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$ご了承ください${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

極集合に関するよく知られた事実は、${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. 示してください${\displaystyle U^{\#}}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-閉部分集合${\displaystyle X^{\#}:}$させて${\displaystyle f\in X^{\#}}$そして、${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ネットは${\displaystyle U^{\#}}$収束して${\displaystyle f}$で${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$結論として${\displaystyle f\in U^{\#},}$示すことは十分（かつ必要）である。${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$すべての${\displaystyle u\in U.}$なぜなら${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$スカラー場において${\displaystyle \mathbb {K} }$そしてあらゆる価値${\displaystyle f_{i}(u)}$閉鎖された（${\displaystyle \mathbb {K} }$）サブセット${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K}$ :|s|\leq 1\right\},} このネットの制限も同様に${\displaystyle f(u)}$この集合に属する。したがって${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. 示してください${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$そして、${\displaystyle U^{\circ }}$は両方の閉部分集合である${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$そして${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$包含${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$連続線形汎関数はすべて（特に）線形汎関数であるため、この関係が成り立つ。逆の包含関係については、${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$させて${\displaystyle f\in U^{\#}}$となることによって${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$これは、線形関数が${\displaystyle f}$近隣に境界が定められている${\displaystyle U}$; したがって${\displaystyle f}$は連続線形関数（つまり、${\displaystyle f\in X^{\prime }}$） など${\displaystyle f\in U^{\circ },}$希望どおりに。 (1)と交差点という事実を使用して${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$は部分空間トポロジーにおいて閉じている${\displaystyle X^{\prime },}$主張について${\displaystyle U^{\circ }}$閉鎖が続く。
3. 示してください${\displaystyle U^{\circ }}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-完全に有界な部分集合${\displaystyle X^{\prime }:}$双極定理により、${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$近隣${\displaystyle U}$は吸収部分集合である${\displaystyle X,}$集合についても同じことが言えるはずだ${\displaystyle U^{\circ \circ };}$これは次のことを意味することを証明できる。${\displaystyle U^{\circ }}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-有界部分集合${\displaystyle X^{\prime }.}$なぜなら${\displaystyle X}$点を区別する${\displaystyle X^{\prime },}$サブセット${\displaystyle X^{\prime }}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-有界であるのは、それが${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-完全に有界です。したがって特に、${\displaystyle U^{\circ }}$また${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$完全に境界が定められている。
4. 結論として${\displaystyle U^{\circ }}$また、${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-完全に有界な部分集合${\displaystyle X^{\#}:}$思い出してください${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$トポロジー${\displaystyle X^{\prime }}$これは部分空間トポロジーと同一であり、${\displaystyle X^{\prime }}$から継承する${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$この事実は、（３）および「完全に有界」の定義と合わせて、次のことを意味する。${\displaystyle U^{\circ }}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-完全に有界な部分集合${\displaystyle X^{\#}.}$
5. 最後に、${\displaystyle U^{\circ }}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-コンパクトなサブセット${\displaystyle X^{\prime }:}$なぜなら${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$完全なTVSと${\displaystyle U^{\circ }}$は、(2)により閉じた、(4)により完全に境界が定められた部分集合である。${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$したがって、${\displaystyle U^{\circ }}$コンパクトです。${\displaystyle \blacksquare }$

と仮定する${\displaystyle X}$連続双対空間を持つ位相ベクトル空間である${\displaystyle X^{\prime }}$そしてそれは${\displaystyle U}$は、起源の近隣地域です。なぜなら${\displaystyle U}$は、${\displaystyle X,}$また、それは吸収サブセットでもある${\displaystyle X,}$だから、すべての${\displaystyle x\in X,}$実数が存在する${\displaystyle r_{x}>0}$そのため${\displaystyle x\in r_{x}U.}$ したがって、上記の命題の仮説は満たされ、したがって集合は${\displaystyle U^{\#}}$したがって、弱*位相においてコンパクトである。バナッハ・アラオグル定理の証明は、次のことが示されれば完了する。${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$^{[注2 ]} ここで、${\displaystyle U^{\circ }}$と定義された $${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

証拠${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ なぜなら${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$結論は${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$ もし${\displaystyle f\in U^{\#}}$それから${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$これは、線形関数が${\displaystyle f}$近隣に境界が定められている${\displaystyle U;}$したがって${\displaystyle f}$は連続線形関数（つまり、${\displaystyle f\in X^{\prime }}$)、必要に応じて。 ${\displaystyle \blacksquare }$

製品スペース${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$チホノフの定理によりコンパクトである（各閉球は${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K}$ :|s|\leq r_{x}\}} はハウスドルフコンパクト空間である^{（注3 ）} 。コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトであるため、次のことが示されれば命題の証明は完了する。 $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$ は、の閉部分集合である。${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$ 以下の記述は、この結論を裏付けるものである。

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$は積空間の閉部分集合である${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

（１）の証明：

いかなる場合でも${\displaystyle z\in X,}$させて${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$への射影を表す${\displaystyle z}$（上記で定義した）^{番目の座標。}${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$示すことは十分（かつ必要）である。${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$すべての${\displaystyle x\in X.}$ だから修正${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle f\in U^{\#}.}$ なぜなら${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$示す必要があるのは${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$ 思い出してください${\displaystyle r_{x}>0}$命題の記述では、 を満たす任意の正の実数として定義されていた。${\displaystyle x\in r_{x}U}$（例えば、${\displaystyle r_{u}:=1}$それぞれにとって有効な選択肢となるでしょう${\displaystyle u\in U}$)、これは${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$ なぜなら${\displaystyle f}$は、以下の条件を満たす正の同次関数である。${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$$${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

したがって${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$これは、${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$ご希望に応じて。

（２）の証明：

代数的双対空間${\displaystyle X^{\#}}$は常に の閉部分集合である${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$（この結果を知らない読者のために、 以下の補題で証明します。）$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$製品のトポロジーでは 閉じられています${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$これは閉部分集合の積であるため${\displaystyle \mathbb {K} .}$ したがって${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$は、2 つの閉じた部分集合の交差である。${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$これは（２）を証明する。^[注４]${\displaystyle \blacksquare }$