コンパクト空間上の連続関数の空間

数学解析、特に関数解析 において、コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数の空間は基本的な役割を果たす。${\displaystyle X}$実数または複素数の値をとる。この空間は、${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$は、関数の点ごとの加算と定数によるスカラー乗算に関するベクトル空間である。さらに、 は、で定義されるノルムを持つ ノルム空間である。$${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ 一様ノルム。一様ノルムは、関数の一様収束の位相を定義します。${\displaystyle X.}$ スペース$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$これは、このノルムに関してバナッハ環である。 （ルーディン 1991 、§10.3(a)）

• ウリソンの補題により、$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ポイントを分離します${\displaystyle X}$： もし${\displaystyle x,y\in X}$異なる点である場合、${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)}$そのため${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
• スペース$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$無限次元であるのは、${\displaystyle X}$は無限空間である（点を分離するため）。したがって、特に、一般に局所コンパクトではない。
• リース・マルコフ・カクタニ表現定理は、連続双対空間の特徴付けを与える。$\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$具体的には、この双対空間はラドン測定 の空間である。${\displaystyle X}$（正則ボレル測度）は、${\displaystyle \operatorname {rca} (X).}$この空間は、測度の全変動 によってノルムが与えられるため、 ba空間のクラスに属するバナッハ空間でもある。（ダンフォード＆シュワルツ 1958 、§IV.6.3）
• 正の線形汎関数$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$（正の）正則ボレル測度に対応する${\displaystyle X,}$リース表現定理の別の形式による。（ルーディン 1966 、第2章）
• もし${\displaystyle X}$無限であれば、$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$反射的でもなければ、弱完全でもない。
• アルツェラ・アスコリの定理が成り立つ：部分集合${\displaystyle K}$の$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$が相対的にコンパクトであるのは、それがノルムで有界である場合に限る。${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$そして等連続である。
• ストーン・ワイエルシュトラスの定理は以下で成り立つ。$\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ 実関数の場合、${\displaystyle A}$は、​$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$すべての定数を含み、点を分離する、${\displaystyle A}$は$\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ 複素関数の場合、以下の追加仮定の下で、この記述は成り立つ。${\displaystyle A}$複雑な共役の下で閉じている。
• もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は2つのコンパクトなハウスドルフ空間であり、${\displaystyle F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)}$は複素共役と可換な代数の準同型写像であり、${\displaystyle F}$連続的である。さらに、${\displaystyle F}$形式は${\displaystyle F(h)(y)=h(f(y))}$ある連続関数に対して${\displaystyle f:Y\to X.}$ 特に、${\displaystyle C(X)}$そして${\displaystyle C(Y)}$代数として同型である場合、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらは同相な位相空間である。
• させて${\displaystyle \Delta }$最大イデアルの空間である$\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ すると、Δと点の間には1対1の対応関係がある。${\displaystyle X.}$ さらに、${\displaystyle \Delta }$すべての複素準同型の集合と同一視できる$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .}$ 装備する${\displaystyle \Delta }$このペアリングに関する初期トポロジーは$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$（つまり、ゲルファント変換）。すると${\displaystyle X}$この位相を備えたΔと同相である。（Rudin 1991 、§11.13(a)）
• シーケンス$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$が弱コーシーであるのは、それが（一様に）有界である場合に限る。$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$そして点ごとに収束する。特に、$\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$弱く完全である${\displaystyle X}$有限集合。
• 曖昧な位相は、双対上の弱い位相である。$\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$
• バナッハ・アラオグルの定理は、任意のノルム空間が、その空間のサブスペースと等長的に同型であることを示唆している。${\displaystyle C(X)}$一部の人にとって${\displaystyle X.}$

スペース${\displaystyle C(X)}$実数値または複素数値の連続関数は、任意の位相空間上で定義できる。${\displaystyle X.}$ しかし、非コンパクトなケースでは、${\displaystyle C(X)}$は一般に一様ノルムに関してバナッハ空間ではない。なぜなら、非有界関数を含む可能性があるからである。したがって、ここで示される空間を考える方がより一般的である。${\displaystyle C_{B}(X)}$有界連続関数の${\displaystyle X.}$ これは一様ノルムに関してバナッハ空間（実際には単位元を持つ可換バナッハ環）である。（Hewitt & Stromberg 1965 、定理7.9）

特に測度論においては、次の特殊な場合を考慮することで、この一般的な定義をさらに洗練させることが望ましい場合がある。${\displaystyle X}$は局所的にコンパクトなハウスドルフ空間である。この場合、 の区別された部分集合のペアを特定することが可能である。${\displaystyle C_{B}(X)}$（ヒューイット＆ストロンバーグ 1965 、§II.7）

• ${\displaystyle C_{00}(X),}$のサブセット${\displaystyle C(X)}$コンパクトな台を持つ関数から構成される。これは無限遠点の近傍で消滅する関数の空間と呼ばれる。
• ${\displaystyle C_{0}(X),}$のサブセット${\displaystyle C(X)}$すべての${\displaystyle r>0,}$コンパクトセットがあります${\displaystyle K\subseteq X}$そのため${\displaystyle |f(x)|<r}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X\backslash K.}$これは無限遠で消滅する 関数の空間と呼ばれます。

閉鎖${\displaystyle C_{00}(X)}$まさに${\displaystyle C_{0}(X).}$ 特に後者はバナッハ空間である。

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958),線形演算子、パート I、Wiley-Interscience。
• ヒューイット、エドウィン、ストロンバーグ、カール（1965）、『実解析と抽象解析』、シュプリンガー・フェルラーク。
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• ルディン、ウォルター（1966）、『実解析と複素解析』、マグロウヒル、ISBN 0-07-054234-1。