有界集合（位相ベクトル空間）

関数解析や関連する数学分野において、位相ベクトル空間内の集合は、零ベクトルのすべての近傍を拡張してその集合を含めることができる場合、有界またはフォン・ノイマン有界と呼ばれます。有界でない集合は非有界と呼ばれます。

有界集合は、双対ペアのベクトル空間上に局所凸極位相を定義する自然な方法である。なぜなら、有界集合の極集合は絶対凸かつ吸収集合だからである。この概念は、1935年にジョン・フォン・ノイマンとアンドレイ・コルモゴロフによって初めて導入された。

仮定する${\displaystyle X}$は位相体上の位相ベクトル空間（TVS）である。${\displaystyle \mathbb {K} .}$

サブセット${\displaystyle B}$の${\displaystyle X}$フォン・ノイマン境界または単に境界と呼ばれます${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等の条件が満たされる場合：

1. 定義：すべての地域について${\displaystyle V}$起源には実在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle B\subseteq sV}$^{[注1 ]}すべてのスカラーについて${\displaystyle s}$満足${\displaystyle |s|\geq r.}$^{[ 1 ]}
   • これは1935年にジョン・フォン・ノイマンによって提唱された定義である。^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle B}$原点のあらゆる近傍に吸収される。^{[ 2 ]}
3. すべての地域${\displaystyle V}$原点にはスカラーが存在する${\displaystyle s}$そのため${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. すべての地域${\displaystyle V}$起源には実在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle sB\subseteq V}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle s}$満足${\displaystyle |s|\leq r.}$^{[ 1 ]}
5. すべての地域${\displaystyle V}$起源には実在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle tB\subseteq V}$すべての現実のために${\displaystyle 0<t\leq r.}$^{[ 3 ]}
6. 上記(1)から(5)のいずれかの記述で、「近隣」という語を「バランスの取れた近隣」、「オープンなバランスの取れた近隣」、「クローズドなバランスの取れた近隣」、「オープンな近隣」、「クローズドな近隣」のいずれかに置き換えたもの。
   • 例えば、（２）の記述は次のようになるかもしれない。${\displaystyle B}$有界であるのは、${\displaystyle B}$原点のあらゆるバランスのとれた近傍に吸収される。 ^{[ 1 ]}
   • もし${\displaystyle X}$が局所的に凸である場合、形容詞「凸」をこれら 5 つの置換語のいずれにも追加することができます。
7. スカラーの任意のシーケンスに対して${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$収束して${\displaystyle 0}$そしてすべてのシーケンス${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$で${\displaystyle B,}$シーケンス${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$収束して${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
   • これは、アンドレイ・コルモゴロフが1934年に使用した「有界」の定義であり、スタニスワフ・マズルとヴワディスワフ・オルリッチが1933年に距離化可能なTVSに対して導入した定義と同じである。コルモゴロフはこの定義を用いて、TVSが半ノルム可能であるのは、原点の有界凸近傍を持つ場合に限ることを証明した。^{[ 1 ]}
8. すべてのシーケンスについて${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$で${\displaystyle B,}$シーケンス$\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$収束して${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$^{[ 4 ]}
9. 可算部分集合${\displaystyle B}$（この条件以外の定義条件によれば）有界である。^{[ 1 ]}

もし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$近隣ベースで${\displaystyle X}$起源においては、このリストは以下のように拡張される可能性がある。

10. 上記(1)から(5)のいずれかの記述だが、対象となる地域は以下の地域に限定される。$\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • 例えば、ステートメント（3）は次のようになるかもしれません。${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$スカラーが存在する${\displaystyle s}$そのため${\displaystyle B\subseteq sV.}$

もし${\displaystyle X}$は、位相が族によって定義される局所凸空間である。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$連続半ノルムの場合、このリストは以下のように拡張できます。

11. ${\displaystyle p(B)}$すべての${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$^{[ 1 ]}
12. ゼロでないスカラーの列が存在する${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$すべてのシーケンスに対して${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$で${\displaystyle B,}$シーケンス${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$は${\displaystyle X}$（これ以外の定義条件による）。^{[ 1 ]}
13. すべての人にとって${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$${\displaystyle B}$半ノルム空間において（この定義条件以外の定義条件に従って）有界である${\displaystyle (X,p).}$
14. B は弱有界である、すなわち、すべての連続線形汎関数は B 上で有界である^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle X}$ノルムを持つノルム空間${\displaystyle \|\cdot \|}$（あるいはより一般的には、それが半ノルム空間であり、${\displaystyle \|\cdot \|}$は単なる半規範である）、^{[注2 ]}このリストは以下を含むように拡張できる。

14. ${\displaystyle B}$はノルムで制限された部分集合である${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$定義によれば、これは実数が存在することを意味する。${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle \|b\|\leq r}$すべての人々のために${\displaystyle b\in B.}$^{[ 1 ]}
15. $\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • したがって、もし${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$は、2 つのノルム空間 (またはセミノルム空間) 間の線形写像であり、${\displaystyle B}$は閉じた（あるいは開いた）単位球です${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$原点を中心として、${\displaystyle L}$は有界線形演算子です（これは、その演算子ノルムが${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$画像が有限である場合に限り、${\displaystyle L(B)}$このボールの下${\displaystyle L}$はノルムで制限された部分集合である${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$は、ある（開球または閉球）の部分集合である。^{[注3 ]}
    • この球は原点を中心とする必要はないが、その半径は（通常通り）正の値で有限でなければならない。

もし${\displaystyle B}$TVSのベクトル部分空間${\displaystyle X}$すると、このリストは以下のように拡張される可能性があります。

17. ${\displaystyle B}$閉鎖部に含まれる${\displaystyle \{0\}.}$^{[ 1 ]}
    • 言い換えれば、ベクトル部分空間は${\displaystyle X}$が有界であるのは、それが（ベクトル空間の）部分集合である場合に限る。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • 思い出してください${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間であるのは、${\displaystyle \{0\}}$閉鎖中${\displaystyle X.}$したがって、ハウスドルフTVSの唯一の有界ベクトル部分空間は${\displaystyle \{0\}.}$

境界を持たない部分集合は、非有界部分集合と呼ばれます。

特に明記されていない限り、位相ベクトル空間（TVS）はハウスドルフ空間である必要も、局所凸空間である必要もありません。

• 有限集合は有界である。^{[ 1 ]}
• TVS の完全有界部分集合はすべて有界である。 ^{[ 1 ]}
• 位相ベクトル空間における相対コンパクト集合はすべて有界である。空間が弱位相を備えている場合、その逆もまた真である。
• コーシー列の点の集合は有界であるが、コーシー網の点の集合は有界である必要はない。
• 原点の閉包（集合の閉包を参照）${\displaystyle \{0\}}$）は常に有界な閉ベクトル部分空間である。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$集合の包含関係に関して、唯一最大のものです${\displaystyle \,\subseteq \,}$) 有界ベクトル部分空間${\displaystyle X.}$特に、${\displaystyle B\subseteq X}$は、${\displaystyle X}$ならば${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

非有界集合

有界でない集合は、非有界であると言われる。

TVS の任意のベクトル部分空間であって、その閉包に含まれないもの${\displaystyle \{0\}}$無制限である

フレシェ空間が存在する${\displaystyle X}$有界部分集合を持つ${\displaystyle B}$また、密なベクトル部分空間${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle B}$クロージャに含まれていない（${\displaystyle X}$）の任意の有界部分集合${\displaystyle M.}$^{[ 6 ]}

局所凸位相ベクトル空間は、その位相が単一の半ノルムによって定義できる場合に限り、ゼロの有界近傍を持つ。

有界集合の極は、絶対凸かつ吸収集合である。

以下に示されていた一様有界集合の定義を用いると、マッキーの可算性条件は次のように言い換えることができる。${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$が距離化可能な局所凸空間の有界部分集合である場合、数列が存在する。${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$正の実数で、${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$は一様に有界である。言い換えれば、距離化可能な局所凸空間内の任意の可算個の有界集合の族が与えられた場合、各集合をその正の実数でスケーリングすることで、それらが一様に有界になるようにすることができる。

• ボルノロジー空間– 有界作用素が連続である空間 
• 吸収可能な集合– 任意の有界部分集合を吸収できる集合 
• 有界関数– 値の集合が有界である数学関数 
• 有界作用素– 線形変換の一種 
• 境界点– ベクトル空間の部分集合に関連する数学的概念 
• コンパクト空間– 数学的空間の一種 
• コルモゴロフの規範性基準― 規範可能な空間の特徴付け 
• 局所的な境界
• 完全に有界な空間― コンパクト性の一般化 

注記

• アダッシュ、ノルベルト；エルンスト、ブルーノ；ケイム、ディーター（1978）。位相ベクトル空間：凸性条件なしの理論。数学講義ノート、第 639巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
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• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、南ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
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• エドワーズ、ロバート・E. (1995).関数解析：理論と応用. ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• グロタンディーク、アレクサンダー（1973）。位相ベクトル空間。オーランド・チャルジュブ訳。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7OCLC 886098。​ 
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC 8210342。​ 
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
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• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
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