ノルムベクトル空間

数学において、ノルムベクトル空間またはノルム空間とは、通常、実数または複素数上のベクトル空間であり、その上にノルムが定義されている空間である。^{[ 1 ]}ノルムは、物理世界における「長さ」という直感的な概念の一般化である。${\displaystyle V}$はベクトル空間である${\displaystyle K}$、 どこ${\displaystyle K}$は、${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$すると、${\displaystyle V}$地図${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$通常は、${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$以下の4つの公理を満たす。

1. 非負性: すべての${\displaystyle x\in V}$、${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$。
2. 正定値性: すべての${\displaystyle x\in V}$、${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$かつその場合に限り${\displaystyle x}$はゼロベクトルです。
3. 絶対的な均質性: すべての${\displaystyle \lambda \in K}$そして${\displaystyle x\in V}$、$${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. 三角不等式：すべての${\displaystyle x\in V}$そして${\displaystyle y\in V}$、$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

もし${\displaystyle V}$は上記のように実数または複素数のベクトル空間であり、${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$は規範である${\displaystyle V}$すると、順序対${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$はノルムベクトル空間と呼ばれます。文脈からどのノルムが意図されているかが明確な場合は、ノルムベクトル空間を単に と表記するのが一般的です。${\displaystyle V}$。

ノルムは、次の式によって 距離（ノルム誘導距離と呼ばれる）を誘導する。$${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$ これにより、任意のノルム付きベクトル空間は距離空間および位相ベクトル空間になります。この距離空間が完備であれば、ノルム付き空間はバナッハ空間になります。すべてのノルム付きベクトル空間は「一意に拡張」してバナッハ空間にすることができ、これによりノルム付き空間はバナッハ空間と密接に関連します。すべてのバナッハ空間はノルム付き空間ですが、その逆は真ではありません。たとえば、実数の有限列の集合はユークリッドノルムでノルム化できますが、このノルムでは完備ではありません。

内積空間とは、ノルムがベクトルとベクトル自身の内積の平方根であるノルム付きベクトル空間のことである。ユークリッドベクトル空間のユークリッドノルムは、ユークリッド距離を次の式で 定義できる特殊なケースである。$${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

ノルム空間とバナッハ空間の研究は、数学の主要な下位分野である関数解析の基礎的な部分である。

ノルム付きベクトル空間とは、ノルムを備えたベクトル空間のことである。半ノルムベクトル空間とは、半ノルムを備えたベクトル空間のことである。

三角不等式の便利な変形は $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ 任意のベクトルに対して${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y.}$

これはまた、ベクトルノルムが（一様）連続関数であることを示している。

特性3は、規範の選択に依存する${\displaystyle |\alpha |}$スカラー場において。スカラー場が${\displaystyle \mathbb {R} }$（またはより一般的には、${\displaystyle \mathbb {C} }$これは通常、通常の絶対値とみなされますが、他の選択肢も可能です。たとえば、上のベクトル空間の場合${\displaystyle \mathbb {Q} }$1つは${\displaystyle |\alpha |}$になる${\displaystyle p}$-進絶対値。

もし${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$はノルムベクトル空間であり、ノルムは${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$距離の概念である計量、ひいては位相を誘導する${\displaystyle V.}$この指標は自然な方法で定義されます。2つのベクトル間の距離${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$は${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$このトポロジーはまさに最も弱いトポロジーであり、${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$連続的で、線形構造と互換性がある${\displaystyle V}$次のような意味で：

1. ベクトル加算${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$この位相に関して、は連続である。これは三角不等式から直接導かれる。
2. スカラー乗算${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$どこ${\displaystyle \mathbb {K} }$は、${\displaystyle V,}$は連続である。これは、三角不等式とノルムの同次性から導かれる。

同様に、任意の半ノルムベクトル空間に対して、2つのベクトル間の距離を定義できます。${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$として${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$これにより、半ノルム空間は擬距離空間（これは距離よりも弱いことに注意してください）となり、連続性や収束性といった概念を定義できるようになります。より抽象的に言えば、すべての半ノルムベクトル空間は位相ベクトル空間であり、したがって半ノルムによって誘導される位相構造を持ちます。

特に興味深いのは、バナッハ空間として知られる完備ノルム空間である。すべてのノルムベクトル空間${\displaystyle V}$あるバナッハ空間内の稠密部分空間として存在し、このバナッハ空間は本質的に一意に定義される。${\displaystyle V}$そして完成と呼ばれる${\displaystyle V.}$

同じベクトル空間上の 2 つのノルムは、同じ位相を定義する場合に同値であると呼ばれます。有限次元ベクトル空間 (ただし無限次元ベクトル空間ではない) では、すべてのノルムは同値です (ただし、結果として得られる距離空間は同じである必要はありません) ^{[ 2 ]。}また、任意のユークリッド空間は完備であるため、すべての有限次元ノルム付きベクトル空間はバナッハ空間であると結論付けることができます。

ノルムベクトル空間${\displaystyle V}$単位球が局所的にコンパクトであるのは、単位球が${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$はコンパクトであり、それは以下の場合に限ります。${\displaystyle V}$は有限次元である。これはリース補題の結果である。（実際には、より一般的な結果が成り立つ。位相ベクトル空間が局所コンパクトであるのは、それが有限次元である場合に限る。ここで重要なのは、位相がノルムから導かれると仮定していない点である。）

半ノルムベクトル空間の位相には多くの優れた性質がある。近傍システムが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$0 の周りでは、他のすべての近傍システムを次のように構築できます。 $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ と $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

さらに、吸収集合と凸集合からなる原点近傍基底が存在する。この性質は関数解析において非常に有用であるため、この性質を持つノルムベクトル空間の一般化は局所凸空間という名称で研究されている。

規範（または準規範）${\displaystyle \|\cdot \|}$位相ベクトル空間上${\displaystyle (X,\tau )}$位相が連続である場合に限り、${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$それ${\displaystyle \|\cdot \|}$誘発する${\displaystyle X}$より粗い​${\displaystyle \tau }$（意味、${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$これは、ある開いた球が存在する場合に限り起こります。${\displaystyle B}$で${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$（例えば、おそらく）${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$例えば）${\displaystyle (X,\tau )}$（言い換えれば、${\displaystyle B\in \tau }$)

位相ベクトル空間${\displaystyle (X,\tau )}$規範が存在する場合、それは規範可能であると呼ばれる。${\displaystyle \|\cdot \|}$の上${\displaystyle X}$正準計量が${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$トポロジーを誘導する${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X.}$ 以下の定理はコルモゴロフによるものである。^{[ 3 ]}

コルモゴロフのノルム可能性基準：ハウスドルフ位相ベクトル空間は、凸でフォン・ノイマン有界な近傍が存在する場合に限りノルム可能である。${\displaystyle 0\in X.}$

ノルム可能な空間の族の積がノルム可能であるのは、有限個の空間のみが非自明である場合（つまり、${\displaystyle \neq \{0\}}$^{[ 3 ]}さらに、ノルム空間の商空間は${\displaystyle X}$閉じたベクトル部分空間によって${\displaystyle C}$規範化可能であり、さらに${\displaystyle X}$の位相はノルムによって与えられる${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$それから地図${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$によって与えられた${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$明確に定義された規範である${\displaystyle X/C}$これは商トポロジーを誘導する${\displaystyle X/C.}$^{[ 4 ]}

さらに、${\displaystyle X}$有限次元であるのは、${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$規範化可能（ここでは）${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$意味する${\displaystyle X^{\prime }}$弱*トポロジーを備えている）。

トポロジー${\displaystyle \tau }$フレシェ空間の${\displaystyle C^{\infty }(K),}$テスト関数と分布の空間に関する記事で定義されているように、可算ノルム族によって定義されますが、ノルムが存在しないため、ノルム可能な空間ではありません。${\displaystyle \|\cdot \|}$の上${\displaystyle C^{\infty }(K)}$このノルムが誘導する位相が等しくなるように${\displaystyle \tau .}$

距離化可能な位相ベクトル空間が、ノルムの族によって定義される位相を持つ場合でも、ノルム化可能な空間とはならない場合がある（つまり、その位相は単一のノルムでは定義できない）。そのような空間の例として、フレシェ空間が挙げられる。${\displaystyle C^{\infty }(K),}$その定義はテスト関数と分布の空間に関する記事で見つけることができる。なぜならその位相は${\displaystyle \tau }$は可算個の規範の族によって定義されるが、規範が存在しないことから規範化可能な空間ではない。${\displaystyle \|\cdot \|}$の上${\displaystyle C^{\infty }(K)}$このノルムが誘導する位相が等しくなるように${\displaystyle \tau .}$ 実際、局所凸空間のトポロジーは${\displaystyle X}$は、一連の規範によって定義される可能性がある。${\displaystyle X}$少なくとも１つの連続ノルムが存在する場合に限る${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

2つのノルム付きベクトル空間間の最も重要な写像は、連続線形写像である。これらの写像とともに、ノルム付きベクトル空間は一つの圏を形成する。

ノルムは、そのベクトル空間上の連続関数である。有限次元ベクトル空間間のすべての線形写像もまた連続である。

2 つのノルム付きベクトル空間間の等長写像は線形写像である。${\displaystyle f}$これは規範を維持する（つまり${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$すべてのベクトルについて${\displaystyle \mathbf {v} }$等長写像は常に連続かつ単射である。ノルム付きベクトル空間間の全射等長写像${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$これは等長同型と呼ばれ、${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$これらは等長同型と呼ばれます。等長同型のノルムベクトル空間は、実際的な目的においては同一です。

ノルム付きベクトル空間について語る場合、双対空間の概念を拡張してノルムを考慮に入れます。${\displaystyle V^{\prime }}$ノルムベクトル空間の${\displaystyle V}$は、からのすべての連続線形写像の空間です。${\displaystyle V}$基底体（複素数または実数）への線形写像は「汎関数」と呼ばれます。汎関数のノルムは${\displaystyle \varphi }$は、​${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$どこ${\displaystyle \mathbf {v} }$すべての単位ベクトル（つまり、ノルムのベクトル）の範囲${\displaystyle 1}$） で${\displaystyle V.}$これにより${\displaystyle V^{\prime }}$ノルム付きベクトル空間に。ノルム付きベクトル空間上の連続線形汎関数に関する重要な定理は、ハーン・バナッハの定理です。

多くのノルム空間（特にバナッハ空間）の定義には、ベクトル空間上で定義されたセミノルムが含まれ、ノルム空間はセミノルムゼロの要素の部分空間による商空間として定義されます。例えば、${\displaystyle L^{p}}$空間、関数は次のように定義されます $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$は、右辺のルベーグ積分が定義され有限で あるすべての関数からなるベクトル空間上の半ノルムです。ただし、ルベーグ測度がゼロの集合上に台を持つ関数については、半ノルムはゼロになります。これらの関数は部分空間を形成し、それを「商空間」に取り出すことで、ゼロ関数と等価になります。

与えられた${\displaystyle n}$半規範的な空間${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$半規範を用いて${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$積空間を で表す$${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ ここでベクトル加算は次のように定義される。 $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ スカラー乗算は次のように定義される。 $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

新しい関数を定義する${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$による $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ これはセミノルムです${\displaystyle X.}$機能${\displaystyle q}$は、すべての条件が満たされる場合に限り規範となる。${\displaystyle q_{i}}$規範である。

より一般的には、各実数に対して${\displaystyle p\geq 1}$地図${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$定義される $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ 半標準です。${\displaystyle p}$これは同じ位相空間を定義する。

初等線形代数を用いた簡単な議論により、有限次元の半ノルム空間は、ノルム空間と自明な半ノルムを持つ空間の積空間として得られるものに限られることが示される。したがって、半ノルム空間のより興味深い例や応用例の多くは、無限次元ベクトル空間に関するものである。

• バナッハ空間、ノルムによって誘導される計量に関して完備なノルム付きベクトル空間
• Banach–Mazur Compactum – 機能解析における概念 
• フィンズラー多様体では、各接線ベクトルの長さはノルムによって決定される。
• 内積空間、ノルムが内積で与えられるノルム付きベクトル空間
• コルモゴロフの規範性基準― 規範可能な空間の特徴付け 
• 局所凸位相ベクトル空間– 凸開集合によって位相が定義されるベクトル空間
• 空間（数学） – 何らかの構造が付加された数学的集合
• 位相ベクトル空間– 近接性の概念を持つベクトル空間 

• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。数学ライトフェーデン。 [数学の教科書]。 BG トイブナー、シュトゥットガルト。ISBN 3-519-02224-9MR 0632257 .​ 
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• ウィキメディア・コモンズにある、規範化された空間に関連するメディア