派生集合（数学）

数学、特に点集合トポロジーにおいて、部分集合の派生集合${\displaystyle S}$位相空間の は、すべての極限点の集合である。${\displaystyle S.}$通常は次のように表されます。${\displaystyle S'.}$

この概念は1872年にゲオルク・カントールによって初めて提唱され、彼は実数直線上の導来集合を研究するために集合論を発展させた。

部分集合の派生集合${\displaystyle S}$位相空間の${\displaystyle X,}$で示される${\displaystyle S',}$すべての点の集合${\displaystyle x\in X}$限界点​${\displaystyle S,}$つまり、ポイント${\displaystyle x}$そのため、すべての近隣地域が${\displaystyle x}$点を含む${\displaystyle S}$以外${\displaystyle x}$自体。

もし${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のユークリッド位相を備えている場合、半開区間の導出集合は次のようになります。${\displaystyle [0,1)}$閉区間${\displaystyle [0,1].}$

考慮する${\displaystyle \mathbb {R} }$トポロジー（開集合）は空集合と任意の部分集合から構成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$1. 派生セット${\displaystyle A:=\{1\}}$は${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle X}$以下では、位相空間を表すものとする。

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は、${\displaystyle X,}$派生セットは以下の特性を持つ：^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'}$暗示する${\displaystyle a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$暗示する${\displaystyle A'\subseteq B'}$

セット${\displaystyle S\subseteq X}$正確に閉じられるのは${\displaystyle S'\subseteq S,}$^{[ 1 ]}つまり、${\displaystyle S}$すべての限界点を含みます。${\displaystyle S\subseteq X,}$セット${\displaystyle S\cup S'}$は閉鎖され、は閉鎖されます${\displaystyle S}$（つまり、集合${\displaystyle {\overline {S}}}$) ^{[ 3 ]}

同相写像は導出集合のみで完全に記述できるため、導出集合は位相幾何学における原始概念として用いられてきた。点の集合${\displaystyle X}$オペレーターを装備できる${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$マッピングサブセット${\displaystyle X}$サブセットへ${\displaystyle X,}$任意の集合に対して${\displaystyle S}$そしてどの時点でも${\displaystyle a}$:

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$暗示する${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$暗示する${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

セットをコールする${\displaystyle S}$閉じる場合${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$空間上のトポロジーを定義します。${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$は導出集合演算子、すなわち、${\displaystyle S^{*}=S'.}$

序数の場合${\displaystyle \alpha ,}$の${\displaystyle \alpha }$位相空間Xのn 番目のCantor –Bendixson微分は、超限再帰を使用して導出集合演算を繰り返し適用することにより、次のように定義されます。

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$制限順序数の場合${\displaystyle \lambda .}$

カントール・ベンディクソン導関数の超限数列${\displaystyle X}$は減少しており、最終的には一定になるはずです。最小の順序数${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$と呼ばれるカントール・ベンディクソンランク${\displaystyle X.}$

この導出過程の研究は、ゲオルク・カントールが序数を導入した動機の一つであった。

• 付着点– 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点 
• 凝縮点– 蓄積点の種類 
• 孤立点– 部分集合Sの点のうち、周囲にSの他の点が存在しない点 
• 限界点– 位相空間におけるクラスター点リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

証明

• ベイカー、クランプ W. (1991)、トポロジー入門、Wm C. Brown Publishers、ISBN 0-697-05972-3
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• クラトフスキ、K. (1966)、『トポロジー』第1巻 、アカデミック・プレス、ISBN 0-12-429201-1
• パービン、ウィリアム・J. (1964)、『一般トポロジーの基礎』、アカデミック・プレス

• Kechris, Alexander S. (1995).古典的記述集合論（大学院数学テキスト第156 版）. Springer. ISBN 978-0-387-94374-9。
• シェルピンスキ, ヴァツワフ F. ;クリーガー、C.セシリア訳（1952年）。一般的なトポロジ。トロント大学出版局。

• PlanetMathによるカントール・ベンディクソン微分に関する記事