ディスク代数

数学、特に関数解析と複素解析において、円板代数 A ( D )（円板代数とも表記される）は、正則関数の集合である。

ƒ  : D → ,${\displaystyle \mathbb {C} }$

（ここでDは複素平面上の開単位円）はDの閉包上の連続関数に拡張される。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle A(\mathbf {D} )=H^{\infty }(\mathbf {D} )\cap C({\overline {\mathbf {D} }}),}$

ここで、H ^∞ ( D ) は単位円板D上の有界解析関数のバナッハ空間(つまりハーディ空間) を表します。点ごとの加法 ( ƒ  +  g )( z ) =  ƒ ( z ) +  g ( z ) と点ごとの乗法 ( ƒg )( z ) =  ƒ ( z ) g ( z ) が与えられると、この集合はC上の代数になります。これは、 ƒとg が円板代数に属する場合、 ƒ  +  gと ƒgも円板代数に属するためです。

均一ノルムを仮定すると、

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbf {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbf {D} }}\},}$

構築により、それは一様代数と可換バナッハ代数になります。

構成上、円板代数はハーディ空間 H ^∞の閉じた部分代数である。円への連続的な拡張が存在するというより強い要求とは対照的に、H ^∞の一般元はほぼどこでも円に放射状に拡張できるというのはファトゥの補題である。