バナッハ束

数学において、バナッハ束とは、それぞれの繊維がバナッハ空間、つまり完全なノルムベクトル空間（無限次元の場合もある）である ベクトル束である。

M をp ≥ 0 のクラス C p のバナッハ多様体とし、これを基底空間と呼ぶ。Eを位相^空間とし、これを全空間と呼ぶ。π : E → M を射影連続写像とする 。各点x ∈ Mに対して、ファイバーE x = π −1 ₍ x )^にバナッハ空間の構造が与えられているとする。

${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$

Mの開被覆とする。また、各i ∈ Iに対してバナッハ空間X _iと写像τ _{iが存在するとする。}

${\displaystyle \tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}}$

そのような

• 写像τ _iはU _iへの射影と可換な同相写像である。つまり、次の図は可換である。

そして各x ∈ U _iに対して、ファイバーE _x上の誘導写像τ _ix

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

は可逆な 連続線型写像、すなわち位相ベクトル空間のカテゴリにおける同型である。

• U _iとU _{j が}開被覆の2つの要素である場合、写像

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})}$

${\displaystyle x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}}$

は射（クラスC ^pの微分可能写像）であり、Lin( X ; Y ) は位相ベクトル空間Xから別の位相ベクトル空間Yへのすべての連続線型写像の空間を表します。

集合 {( U _i , τ _i )| i ∈ I } はπ  : E → Mの自明化被覆と呼ばれ、写像τ _iは自明化写像と呼ばれます。2 つの自明化被覆は、それらの和が上記の 2 つの条件を満たす場合、同値であると言われます。このような自明化被覆の同値類は、 π  : E → M上のバナッハ束の構造を決定すると言われています。

すべての空間X _iが位相ベクトル空間として同型である場合、それらはすべて同じ空間Xに等しいと仮定できます。この場合、π  : E → M はファイバー Xを持つバナッハ束と呼ばれます。Mが連結空間である場合、これは必然的に当てはまります。なぜなら、自明化写像が存在する 点x ∈ Mの集合は

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X}$

与えられた空間Xは、開いた空間と閉じた空間の両方である。

有限次元の場合、上記の 2 番目の条件は 1 番目の条件によって暗示されます。

• V が任意のバナッハ空間である場合、任意の点x ∈ VにおけるVへの接空間T _x V は、明らかにV自身と同型である。Vの接バンドルT Vは、通常の射影を持つバナッハバンドルである。

${\displaystyle \pi :\mathrm {T} V\to V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto x.}$

この束は、T V が大域的に定義された自明化写像、すなわち恒等関数を許容するという意味で「自明」である。

${\displaystyle \tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\to V\times V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v).}$

• M が任意のバナッハ多様体である場合、 Mの接バンドル T M は通常の射影に関してバナッハバンドルを形成しますが、それは自明ではない可能性があります。
• 同様に、点x ∈ M上の繊維を持つ余接束T* M は、 xにおける接空間への位相的双対空間である。

${\displaystyle \pi^{-1}(x)=\mathrm{T}_{x}^{*}M=(\mathrm{T}_{x}M)^{*};}$

通常のMへの射影に関してもバナッハ束を形成します。

• ボホナー空間とバナッハ束の間には関連がある。例えば、ボホナー空間X  =  L ²([0,  T ];  H ¹ (Ω))を考えてみよう。これは、領域 Ω 上の熱方程式を調べるときに便利な対象として現れるかもしれない。熱方程式の解σ  ∈  Xを求めると、各時刻tに対して、σ ( t ) はソボレフ空間 H ¹ (Ω)内の関数である。また、 Y  = [0,  T ] ×  H ¹ (Ω)を考えることもできる。これは、直交積として、ファイバーH ^{1 (Ω) を持つ多様体 [0,} T ]上のバナッハ束の構造も持ち 、その場合、要素/解σ  ∈  Xは、ある特定の規則性 (実際はL ²) を持つ束Yの断面である。問題の問題の微分幾何学が特に関連する場合、バナッハ束の観点が有利になるかもしれない。

すべてのバナッハ束のコレクションは、適切な射を定義することによってカテゴリにすることができます。

π  : E → Mとπ ′ : E ′ → M ′ を2つのバナッハ束とする。最初の束から2番目の束へのバナッハ束射は、2つの射のペアから構成される。

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

f が射であるということは、単にf が位相空間の連続写像であることを意味します。多様体MとM ′ が両方ともクラスC ^pである場合、f _{0が射であるという要件は、それが}p回連続的に微分可能な関数であるという要件です。これらの 2 つの射は、2 つの条件を満たす必要があります (この場合も、有限次元の場合は 2 番目の条件は不要です)。

• 図

は可換であり、各x∈Mに対して誘導写像

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}$

連続線形マップです。

• 各x ₀ ∈ Mに対して、自明化写像が存在する

${\displaystyle \tau :\pi ^{-1}(U)\to U\times X}$

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'}$

x ₀ ∈ U、f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′となる。

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

そして地図

${\displaystyle U\to \mathrm {Lin} (X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}}$

は射（クラスC ^pの微分可能写像）である。

ある多様体上のバナッハ束を取り、プルバック構成を使用して 2 番目の多様体上に新しいバナッハ束を定義することができます。

具体的には、π  : E → Nをバナッハ束、f  : M → N を微分可能写像とします（通常どおり、すべてはC ^pです）。すると、π  : E → Nの引き戻しは、次の特性を満たすバナッハ束f * π  : f * E → Mになります。

• 各x ∈ Mに対して、 ( f * E ) _x = E _{f ( x )}である。
• 交換可能な図がある

上部の水平マップは各繊維のアイデンティティです。

• もしEが自明、つまりあるバナッハ空間Xに対してN × Xに等しいなら、f * Eも自明でM × Xに等しく、

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M}$

最初の座標への投影です。

• VがNの開集合であり、U = f ⁻¹ ( V )である場合、

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}}$

そして可換図式が存在する

ここで、「前面」と「背面」のマップは前の図のものと同じであり、「背面」から「前面」へのマップは包含物によって（誘導されて）います。

• ラング、セルジュ(1972)。『微分多様体』。マサチューセッツ州レディング、ロンドン、オンタリオ州ドン・ミルズ: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.