ゴールドスタインの定理

数学の一分野である関数解析において、ハーマン・ゴールドスタインにちなんで名付けられたゴールドスタインの定理は、次のように述べられています。

ゴールドスタインの定理。をバナッハ空間とすると、双対空間の閉単位球への標準埋め込みによる閉単位球の像は弱*稠密な部分集合である。${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\prime \prime}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime}}$

定理の結論はノルム位相には当てはまらない。これは、ゼロに収束する実数列のバナッハ空間、 c0空間 とその双対空間Lp空間を考えるとわかる。${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

すべてに対して、すべてに対してとなるようなものが存在する${\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle x\in (1+\delta )B}$${\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

の 射影性により 、$${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :X\to \mathbb {C} ^{n},\\x\mapsto \left(\varphi _{1}(x),\cdots ,\varphi _{n}(x)\right)\end{cases}}}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

さて $${\displaystyle Y:=\bigcap _{i}\ker \varphi _{i}=\ker \Phi .}$$

のすべての要素はを満たすので、共通部分が空でないことを示すだけで十分です。 ${\displaystyle z\in (x+Y)\cap (1+\delta )B}$${\displaystyle z\in (1+\delta )B}$${\displaystyle \varphi _{i}(z)=\varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i}),}$

矛盾として、それが空であると仮定します。すると、ハーン・バナッハの定理により、かつとなる線型形式が存在し、^[1]となり、したがって 矛盾となります。 ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y)\geq 1+\delta }$${\displaystyle \varphi \in X^{\prime}}$${\displaystyle \varphi {\big \vert }_{Y}=0,\varphi (x)\geq 1+\delta }$${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime}}=1.}$${\displaystyle \varphi \in \operatorname {span} \left\{\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right\}}$$${\displaystyle 1+\delta \leq \varphi (x)=x^{\prime \prime }(\varphi )\leq \|\varphi \|_{X^{\prime }}\left\|x^{\prime \prime }\right\|_{X^{\prime \prime }}\leq 1,}$$

セットを 修正して検査する${\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}$${\displaystyle \epsilon >0.}$$${\displaystyle U:=\left\{y^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:|(x^{\prime \prime }-y^{\prime \prime })(\varphi _{i})|<\epsilon ,1\leq i\leq n\right\}.}$$

をによって定義される埋め込みとする。ここで、はマップにおける評価である。形式の集合は弱*位相の基底を形成するので、^[2]、密度はそのようなすべてのものに対して示されると従う。上記の補題は、任意のに対して、特に となるようなが存在することを述べている。 したがって、となるようにスケールすることができる。目標は、十分に小さい に対して となることを示すことである。${\displaystyle J:X\rightarrow X^{\prime \prime }}$${\displaystyle J(x)={\text{Ev}}_{x},}$${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}(\varphi )=\varphi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle J(B)\cap U\neq \varnothing }$${\displaystyle U.}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (1+\delta )B}$${\displaystyle x^{\prime \prime }(\varphi _{i})=\varphi _{i}(x),}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n,}$${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in U.}$${\displaystyle J(B)\subset B^{\prime \prime },}$${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in (1+\delta )J(B)\cap U.}$${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B).}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U.}$

直接確認すると、 $${\displaystyle \left|\left[x^{\prime \prime }-{\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\right](\varphi _{i})\right|=\left|\varphi _{i}(x)-{\frac {1}{1+\delta }}\varphi _{i}(x)\right|={\frac {\delta }{1+\delta }}|\varphi _{i}(x)|.}$$

十分に大きい値を選ぶことができるので、 ^[3]となることに注意。また、と なるように選ぶと、${\displaystyle M}$${\displaystyle \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq M}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$${\displaystyle \|x\|_{X}\leq (1+\delta ).}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta M<\epsilon ,}$$${\displaystyle {\frac {\delta }{1+\delta }}\left|\varphi _{i}(x)\right|\leq {\frac {\delta }{1+\delta }}\|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\|x\|_{X}\leq \delta \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq \delta M<\epsilon .}$$

したがって、望みどおりのものが得られます。 ${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U}$

• バナッハ・アラオグルの定理 – 関数解析における定理
• ビショップ・フェルプスの定理
• エーベルライン・シュムリアン定理 – バナッハ空間における3種類の弱いコンパクト性を関連付ける
• ジェームズの定理 – 数学の定理Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• マズールの補題 – バナッハ空間における弱収束列の強収束組み合わせについて

• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.