スペース

数学 において、集合代数のバナッハ空間は、 上のすべての有界かつ有限加法の符号付き測度からなるバナッハ空間である。ノルムは変分として定義され、つまり^{[1]である。}${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$

Σ がシグマ代数である場合、空間は可算加法測度からなるの部分集合として定義されます。^[2]表記ba は境界加法の記憶法であり、ca は可算加法の略です。 ${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\displaystyle ba(\Sigma )}$

Xが位相空間で、 Σ がXのボレル集合のシグマ代数である場合、 はX上のすべての正則ボレル測度からなるの部分空間です。^[3]${\displaystyle rca(X)}$${\displaystyle ca(\Sigma )}$

これら 3 つの空間はすべて、全変分によって定義される同じノルムに関して完備 (バナッハ空間)であるため、 はの閉部分集合であり、 はX上のボレル集合の代数 Σ に対しての閉集合です。上の単純関数の空間はにおいて稠密です。 ${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\displaystyle ba(\Sigma )}$${\displaystyle rca(X)}$${\displaystyle ca(\Sigma )}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle ba(\Sigma )}$

自然数の冪集合のba空間ba (2N ^)は、単にと表記されることが多く、ℓ∞空間の双対空間と同型です。 ${\displaystyle ba}$

B(Σ) を、一様ノルムを備えた、有界 Σ-可測関数の空間とします。このとき、ba (Σ) = B(Σ)* はB(Σ) の連続双対空間です。これは、Hildebrandt ^[4]と Fichtenholtz & Kantorovich ^[5]によるものです。 これは、測度を可測関数上の線型関数として表現することを可能にする、一種のRiesz 表現定理です。特に、この同型性により、有限加法測度に関する積分を定義できます (通常のルベーグ積分では可算加法性が必要であることに注意してください) 。これは、Dunford & Schwartz ^[6]によるもので、ベクトル測度、^[7]、特にベクトル値ラドン測度に関する積分を定義するためによく使用されます。

位相的な双対性ba (Σ) = B(Σ)* は簡単にわかります。Σ上のすべての有限加法測度 σのベクトル空間と単純関数のベクトル空間( ) の間には、明らかな代数的な双対性があります。σ が有界であれば、σ によって誘導される線型形式が超ノルムで連続であることは簡単に確認できます。また、単純関数の稠密な部分空間上の線型形式が超ノルムで連続であれば、B(Σ)* の要素に拡張されるため、結果は当然です。 ${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$

Σ がシグマ代数で、μ がΣ 上のシグマ加法正測度である場合、本質的上限ノルムを備えたLp 空間 L ^∞ ( μ ) は、定義により、B(Σ) を有界μ -ヌル関数の閉部分空間で割った商空間です。

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-ほぼどこでも}}\}.}$

したがって、 双対バナッハ空間L ^∞ ( μ )*は、

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},}$

すなわち、 μ（略して μ -ac）に関して絶対連続な、Σ上の有限加法符号付き測度の空間。

さらに測度空間がシグマ有限である場合、L ^∞ ( μ ) はL ¹ ( μ )の双対となり、ラドン・ニコディムの定理により、すべての可算加法的 μ -ac 測度の集合と同一視される。言い換えれば、双対

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

は、すべての有限加法μ -ac 有界測度の空間内に可算加法μ -ac 有界測度の空間を含めることと同型です。

• バナッハ空間の一覧

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958).線形演算子、パート I. Wiley-Interscience.

• ディーステル、ジョセフ (1984)。バナッハ空間における数列と級数。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• ヨシダ, K.; ヒューイット, E. (1952). 「有限加法的測度」.アメリカ数学会誌. 72 (1): 46–66. doi : 10.2307/1990654 . JSTOR  1990654.
• Kantorovitch, Leonid V.; Akilov, Gleb P. (1982).機能分析. ペルガモン. doi :10.1016/C2013-0-03044-7. ISBN 978-0-08-023036-8。