補助正規空間

数学の一分野である関数解析において、円板からノルム空間を構築する 2 つの方法がアレクサンダー・グロタンディークによって体系的に採用され、核作用素と核空間が定義されました^[1]。 1 つの方法は、円板が有界である場合に使用されます。この場合、補助ノルム空間はノルムを 持ちます。 もう 1 つの方法は、円板が吸収である場合に使用されます。この場合、補助ノルム空間は商空間です 。 円板が有界かつ吸収である場合、2 つの補助ノルム空間は標準同型です (位相ベクトル空間として、およびノルム空間として)。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.}$$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X/p_{D}^{-1}(0).}$

この記事全体を通して、は実数または複素数ベクトル空間（必ずしもTVSである必要はない）であり、は${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

を実数または複素数ベクトル空間とします。ミンコフスキー関数の任意の部分集合は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$

• を自明な写像^[2]と定義し、^[注1]と仮定する。${\displaystyle D=\varnothing }$${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$${\displaystyle \operatorname {span} \varnothing =\{0\}.}$
• がを吸収する場合、のミンコフスキー関数をで表します。ここで、これはすべて に対してで定義されます。${\displaystyle D\neq \varnothing }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$$${\displaystyle p_{D}:\operatorname {span} D\to [0,\infty )}$$${\displaystyle x\in \operatorname {span} D,}$$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$$

を実数または複素ベクトル空間とする。ミンコフスキー関数が半ノルムとなるような の任意の部分集合に対して、を と表す。 これはによって誘導さ れる半ノルム空間と呼ばれる。ただし がノルムである場合はによって誘導されるノルム空間と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D,}$${\displaystyle X_{D}}$$${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$$${\displaystyle D,}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D.}$

仮定（位相）:によって誘導される半ノルム位相が与えられ、それはまたはで表される。${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D},}$${\displaystyle \tau_{D}}$${\displaystyle \tau_{p_{D}}}$

重要なのは、この位相が、集合の代数構造と 上の通常の位相( は集合とスカラー乗算のみを使用して定義されるため) から完全に派生していることです。これにより、バナッハ円板の研究が正当化され、バナッハ円板が核作用素と核空間の理論で重要な役割を果たす理由の一部となっています。 ${\displaystyle D,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D}$

包含写像は標準写像と呼ばれる。^[1]${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$

が円板であると仮定します。すると、はの線形スパンで吸収します。のすべての正のスカラー倍数の 集合は、上の局所凸位相ベクトル空間位相に対する原点での近傍の基底を形成します。 の円板のミンコフスキー 汎関数は、 が明確に定義され、上の半ノルムを形成することを保証します^[3] この半ノルムによって誘導される局所凸位相は、前に定義された位相です。 ${\displaystyle D}$${\textstyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D,}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \{rD:r>0\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \tau_{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \operatorname {span} D.}$${\displaystyle \tau_{D}}$

位相ベクトル空間内の有界円板であって、バナッハ空間であるものは、バナッハ円板、インフラ コンプリート、または有界コンプリートと呼ばれる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle X.}$

それがバナッハ空間であることが示される場合、それは有界部分集合として 含む任意の TVS内のバナッハ円板になります。${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

これは、ミンコフスキー関数が純粋に代数的な用語で定義されているためです。したがって、バナッハ空間を形成するかどうかという問題は、ディスクとミンコフスキー関数のみに依存し、特定の TVS 位相には依存しません。したがって、TVS 内のバナッハディスクが の有界部分集合であるという要件は、バナッハディスクの位相をそれを含む TVS の位相に結び付ける唯一の特性です。${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

境界付きディスク

次の結果は、バナッハ円板が境界付きである必要がある理由を説明しています。

ハウスドルフネス

空間がハウスドルフである場合、かつ がノルムである場合に限り、空間はハウスドルフである。これは、 が非自明なベクトル部分空間を含まない場合に限り起こる。[ ^6]特に、 が有界であるような ハウスドルフ TVS 位相が 上に存在する場合、はノルムである。 がハウスドルフではない例は、 とし、 を-軸とすることで得られる。 ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

ネットの収束

がハウスドルフである円板で、がハウスドルフである円板であるとする。すると、 が であり、かつすべての に対してである実数の網が存在するとき、かつ そのときに限り、 となる。さらに、この場合、一般性を失うことなく、すべての に対してであると仮定する。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X_{D}.}$${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r_{i}\geq 0}$${\displaystyle i.}$

ディスク誘導空間の関係

となるので、次の連続^[5]線型写像を定義する。 ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$${\displaystyle \operatorname {span} C,}$

とが内の円板である場合、包含写像をの標準的な包含写像と呼ぶ。${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C\subseteq D}$${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$${\displaystyle X_{C}}$${\displaystyle X_{D}.}$

特に、を継承する部分空間位相はの半ノルム位相よりも弱い。 ^[5]${\displaystyle \operatorname {span} C}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$

閉じた単位球としての円板

円板が の閉部分集合となるのは、が半ノルム の閉単位球である場合に限ります。つまり、 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

がベクトル空間内の円板であり、が の閉じた有界部分集合となるようなTVS 位相が存在する場合、はの閉じた単位球体です(つまり、) (証明については脚注を参照)。^{[注 2]}${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,\tau \right),}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

次の定理を使用して、 がバナッハ空間であることを証明できます。これが証明されると、が有界である任意の TVS 内の はバナッハ円板になります。 ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

がハウスドルフTVSの有界かつ連続完全部分集合でない場合でも、この定理を以下の式を満たす 円板に適用することで、がバナッハ空間であると結論付けることができるかもしれない ことに注意されたい。${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$$${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

上記の定理から得られる結果は次のとおりです。

• ハウスドルフTVSにおける連続的に完全な有界円板はバナッハ円板である。^[5]
• ハウスドルフTVS内の完全かつ有界な（例えばコンパクトな）ディスクはバナッハディスクである。^[8]
• フレシェ空間内の閉じた単位球は逐次完備であり、したがってバナッハ円板である。^[5]

がTVS内の有界円板であると仮定する${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

• が連続線型写像でバナッハ円板である場合、はバナッハ円板であり、等長TVS同型写像を誘導する。${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

をTVSとし、を境界付き円板とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$

がハウスドルフ局所凸空間内の有界バナッハ円板であり、が内の樽である場合、吸収する（つまり、[ ^4]${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle D\subseteq rT.}$

が における原点の凸均衡閉近傍である場合、 が正の実数全体にわたるすべての近傍の集合は、 上の位相ベクトル空間位相を誘導します。がこの位相を持つ場合、それは で表されます。この位相は必ずしもハウスドルフでも完全でもないことから、ハウスドルフ空間の完備化は で表され、は完全ハウスドルフ空間となり、 はこの空間上のノルムとなり、バナッハ空間になります。 の極はにおける弱コンパクト有界等連続円板であるため、 は不完全です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle rU,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{U}.}$${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$${\displaystyle X^{\prime }}$

が距離化可能な局所凸TVSである場合、 の任意の有界部分集合に対して、の有界円板が存在し、 と の両方が^[5]に同じ部分空間位相を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle B.}$

が位相ベクトル空間で、が凸平衡放射状集合であるとする。すると、 は上の局所凸位相に対する原点での近傍基底となる。 この TVS 位相は、によって形成されるミンコフスキー関数によって与えられ、 はによって定義される 上の半ノルムである。 位相がハウスドルフであるためには、がノルムである場合、または同値として、 が である場合、または同値として、 が で有界であることで十分である。 位相はハウスドルフである必要はなく、ハウスドルフである。 上のノルムは によって与えられ、この値は実際には選択された同値類の代表とは独立である。ノルム空間は によって表され、その完備化は によって表される。${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle p_{V}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau _{V}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$

さらに が で有界である場合、半ノルムはノルムなので、特に となります。 この場合、の代わりに をベクトル空間とするので、表記は明確になります（が放射状円板によって誘導される空間を表すのか、有界円板によって誘導される空間を表すのかは関係ありません）。^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/\{0\}}$${\displaystyle X_{V}}$${\displaystyle X_{V}}$

上の商位相 （の元の位相から継承）は、ノルム位相よりも細かい（一般に、厳密には細かい）です。 ${\displaystyle \tau _{Q}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle X}$

正準写像とは、ノルム位相または商位相のいずれかを持つときに連続となる商写像である。 ^[1]${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$${\displaystyle X_{V}}$

とが放射状円板で、となる場合、を同値類に送ることで定義される 連続線型射影正準写像が存在する。ここで、定義は選択された同値類の代表に依存しないことが検証できる。^[1] この正準写像はノルム^[1]を持ち、への一意の連続線型正準拡張を持ち、それは次のように表される。${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\subseteq V}$${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$${\displaystyle \,\leq 1}$${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

さらに、およびが の有界円板であり、その包含が連続線型写像であるとする。およびを標準写像とする。すると、および^[1]${\displaystyle B\neq \varnothing }$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$

が有界放射状ディスクであると仮定します。は有界ディスクなので、 の場合、ノルム を持つ補助ノルム空間を作成できます。は放射状なので、 は放射状ディスクな ので、 の場合、セミノルム を持つ補助半ノルム空間を作成できます。は有界なので、このセミノルムはノルムであり、したがって 、この場合、これら 2 つの異なる方法で生成された 2 つの補助ノルム空間は同じノルム空間になります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D:=S}$${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X_{S}=X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V:=S}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$

が弱く閉じた等連続円板であると仮定し（これは が弱コンパクトであることを意味する）、 を の 極とします。双極子定理 により、連続線型汎関数が に属するのは、が の連続双対空間に属する場合のみであることが分かります。ここで は^[9]で定義されるのミンコフスキー汎関数です。${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ for all }}h\in H\}}$$${\displaystyle H.}$${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {span} H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$

TVS内のディスクがすべてのバナッハディスクを吸収する場合、そのディスクはインフラボルニボラス^[5]と呼ばれます。

2つのTVS間の線形写像は、バナッハ円板を有界円板に写像する場合、 インフラバウンド^{写像と呼ばれます[5] 。}

TVS内のシーケンスは、バナッハ円板が存在し、シーケンスが（最終的に）に含まれ、に含まれ、に含まれていれば、点に高速収束する^[5]と言われています。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {span} D}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

全ての高速収束列はマッキー収束する。^[5]

• ボルノロジー空間 – 有界演算子が連続する空間
• 入射テンソル積
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 核作用素 – 位相ベクトル空間に関連する線型作用素
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 初期トポロジー – 特定の関数を連続させる最も粗いトポロジー
• 射影テンソル積 – 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• シュワルツ位相ベクトル空間 - 原点の近傍が全有界部分集合の定義に似た性質を持つ位相ベクトル空間Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• ヒルベルト空間のテンソル積 – 特別な内積を備えたテンソル積空間
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• 超自然的空間

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• ncatlab の核空間