マイクロバンドル

数学において、微小束はベクトル束の概念を一般化したものであり、1964年にアメリカの 数学者 ジョン・ミルナーによって導入された。 ^[1]これにより、通常は存在しないと考えられる状況で束のようなオブジェクトを作成することができる。たとえば、接線束は滑らかな多様体に対して定義されますが、位相多様体に対しては定義されません。微小束を使用すると、位相的な接線束を定義できます。

位相空間（「基本空間」）上の（位相的な）-微小束は、三つ組 から構成されます。ここで、 は位相空間（「全空間」）であり、は連続写像（それぞれ「零断面」と「射影写像」）であり、次のように なります。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle (E,i,p)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle i:B\to E}$${\displaystyle p:E\to B}$

1. 構成はの同一性である。${\displaystyle p\circ i}$${\displaystyle B}$
2. 任意の に対して、の近傍との近傍が存在し、 、はに同相であり、写像および はおよびと可換である。${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle V\subseteq E}$${\displaystyle i(b)}$${\displaystyle i(U)\subseteq V}$${\displaystyle p(V)\subseteq U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p_{\mid V}:V\to U}$${\displaystyle i_{\mid U}:U\to V}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U}$${\displaystyle U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)}$

ベクトルバンドルと同様に、整数はマイクロバンドルの ランクまたはファイバー次元とも呼ばれます。同様に、最初の条件はベクトルバンドルのゼロセクションとして考えるべきであるのに対し、2 番目の条件はバンドルのローカル自明性条件を模倣していることに注意してください。ここで重要な違いは、マイクロバンドルの「ローカル自明性」はゼロセクションの近傍付近でのみ有効であるということです。その近傍から離れた空間は非常に荒々しく見える可能性があります。また、マイクロバンドルのローカル自明なパッチを接着するマップは、ファイバーのみと重なる場合があります。 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E}$

マイクロバンドルの定義は、位相空間と連続写像を適切なオブジェクトと射に置き換えることによって、 滑らかなカテゴリよりも一般的なカテゴリ、例えば区分線型多様体などのカテゴリに適応できます。

• 階数のベクトルバンドル には、明らかな基礎となる-微小バンドルがあり、ここでは0 セクションです。${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$
• 任意の位相空間 に対して、直積（ への射影および写像とともに）は、ランク の標準自明な微小束と呼ばれる -微小束を定義します。同様に、これはランク の自明なベクトル束の基礎となる微小束です。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• 次元 の位相多様体を考えると、直積と最初の要素への射影および対角写像を組み合わせると、の接線微小束と呼ばれる -微小束が定義されます。${\displaystyle n}$${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Delta :M\to M\times M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$
• 上の-微小束と連続写像が与えられると、空間 は上の -微小束を定義します。これは、によるプルバック（または誘導）微小束と呼ばれ、射影と零断面とともに定義されます。 がベクトル束である場合、その基礎となる微小束のプルバック微小束は、標準のプルバック束の基盤となる微小束とまったく同じです。${\displaystyle n}$${\displaystyle (E,i,p)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A}$${\displaystyle i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))}$${\displaystyle p:E\to B}$
• 上の-微小束と部分空間が与えられたとき、とも表記される制限微小束は、包含 に関する引き戻し微小束です。${\displaystyle n}$${\displaystyle (E,i,p)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E_{\mid A}=p^{-1}(A)}$${\displaystyle A\hookrightarrow B}$

同じ空間上の2 つの-微小束とが同型(または同等)であるとは、の近傍と の近傍が存在し、さらに射影と零切断と 可換な同相写像が存在する場合をいいます。${\displaystyle n}$${\displaystyle (E_{1},i_{1},p_{1})}$${\displaystyle (E_{2},i_{2},p_{2})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V_{1}\subseteq E_{1}}$${\displaystyle i_{1}(B)}$${\displaystyle V_{2}\subseteq E_{2}}$${\displaystyle i_{2}(B)}$ ${\displaystyle V_{1}\cong V_{2}}$

より一般的には、マイクロバンドル間の射は、上記のようにゼロセクションの近傍間の 連続マップの胚から構成されます。${\displaystyle V_{1}\to V_{2}}$

-マイクロバンドルは、ランク の標準的な自明なマイクロバンドルと同型である場合に自明と呼ばれます。マイクロバンドルの定義における局所自明性条件は、次のように言い換えることができます。任意の に対して、制限が自明となる近傍が存在します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle U\subseteq B}$${\displaystyle E_{\mid U}}$

平行化可能な滑らかな多様体と同様に、位相多様体は、その接微小束が自明である場合に、位相的に平行化可能であると呼ばれます。

ジェームズ・キスターとバリー・マザーの定理によれば、零断面の近傍は実際にはファイバーと構造群（原点を固定した同相写像群）を持つファイバー束である。この近傍は同位体を除いて一意である。したがって、すべての微小束は本質的に一意な方法で実際のファイバー束に精製できる。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

接線微小束に含まれるファイバー束を取ると、位相接線束が得られます。直感的には、この束は、 の小さなチャートのシステムを取り、各チャートにチャートの各点上のファイバーを持たせ、遷移マップに従ってファイバーを重ね合わせることでこれらの自明な束を接着することによって得られます。 ${\displaystyle (M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

マイクロバンドル理論は、ロビオン・カービーとローラン・C・ジーベンマンによる高次元多様体上の滑らかな構造とPL構造に関する研究の不可欠な部分である。^[3]

• Gauld, David; Greenwood, Sina (2000). 「マイクロバンドル、多様体、および測定可能性」。アメリカ数学会紀要。128 (9): 2801– 2808。doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0。MR  1664358 。
• スウィッツァー、ロバート M. (2002)。代数的位相幾何学-ホモトピーとホモロジー。数学の古典。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-42750-6. MR  1886843.第14章を参照してください。

• マニフォールド アトラスのマイクロバンドル。