トポロジーの比較

位相幾何学および関連する数学分野では、与えられた集合上のすべての可能な位相の集合は、半順序集合を形成します。この順序関係は、位相の比較に利用できます。

集合上の位相は、「開集合」とみなされる部分集合の集合として定義できる。（別の定義としては、「閉集合」とみなされる部分集合の集合という方法もある。開集合の補集合は閉集合であり、その逆もまた然りであるため、これら2つの位相の定義方法は本質的に同等である。以下では、どちらの定義を用いても構わない。）

明確にするために、読者は位相空間の開集合の族を位相空間の開集合の族として考えるべきである。なぜなら、それが「位相」という言葉の標準的な意味だからである。

τ ₁とτ ₂を集合X上の 2 つの位相とし、 τ _{1 が}τ ₂に含まれるとする。

$\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$。

つまり、τ _{1のすべての要素は}τ ₂の要素でもある。このとき、位相τ _1はτ ₂よりも粗い(弱いまたは小さい)位相であり、 τ _2はτ ₁よりも細かい(強いまたは大きい)位相であると言われる。 ^{[ nb 1 ]}

さらに

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

τ ₁はτ ₂より 厳密に粗く、τ ₂はτ ₁より厳密に細かいと言う。^{[ 1 ]}

二項関係⊆は、X上のすべての可能な位相の集合上の部分順序関係を定義します。

X上の最も細かい位相は離散位相であり、この位相ではすべての部分集合が開集合となる。X上の最も粗い位相は自明位相であり、この位相では空集合と空間全体のみが開集合として認められる。

関数空間や測度空間には、しばしば複数の位相が存在する。複雑な関係については、ヒルベルト空間上の作用素集合の位相に関する項を参照されたい。

双対ペア上のすべての可能な極性トポロジーは、弱トポロジーよりも細かく、強トポロジーよりも粗い。

複素ベクトル空間C ^{n に}は、通常の（ユークリッド）位相、またはザリスキー位相のいずれかを適用することができる。後者では、C ⁿの部分集合Vは、ある多項式方程式系のすべての解から構成される場合に限り閉集合となる。このようなV は、通常の意味でも閉集合であるが、その逆は成り立たないため、ザリスキー位相は通常の位相よりも厳密に弱い。

τ ₁とτ ₂を集合X上の 2 つの位相とする。このとき、以下の命題は同値である。

• τ ₁ ⊆ τ ₂。
• 恒等写像id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) は連続写像です。
• 恒等写像 id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) は強開写像です。
• 恒等写像 id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) は相対的に開いた写像です。

（恒等写像 id _Xは全射であるため、相対的に開である場合に限り、強開である。）

上記の同等の記述から直ちに導かれる2つの帰結は以下のとおりである。

• 連続写像f  : X → Y は、 Y上の位相が粗くなるか、 X 上の位相が細かくなると連続性を維持します。
• 開写像f  : X → Y は、 Y上のトポロジーがより細かくなるか、 X上のトポロジーがより粗くなると、開写像のまま（閉写像のまま）になります。

近傍基底を用いて位相を比較することもできます。集合X上の 2 つの位相をτ ₁とτ ₂とし、i = 1,2に対して、位相τ _iのx ∈ Xにおける局所基底をB _i ( x ) とします。このとき、 τ ₁ ⊆ τ ₂となるのは、すべてのx ∈ Xに対して、 B ₁ ( x )内の各開集合U _{1 が、} B ₂ ( x )内の何らかの開集合U ₂を含む場合に限ります。直感的には、これは理にかなっています。より細かい位相は、より小さな近傍を持つはずです。

集合X上のすべての位相の集合と部分順序関係 ⊆ は、任意の交差に関して閉じている完全束を形成します。 ^{[ 2 ]} つまり、X上の任意の位相の集合には、ミート(またはインフィマム) とジョイン(またはスプレマム)があります。位相の集合のミートは、それらの位相の交差です。ただし、ジョインは一般にそれらの位相の和集合(2 つの位相の和集合は位相である必要はありません) ではなく、和集合によって生成される位相です。

すべての完全格子は有界格子でもあり、つまり最大元と最小元を持つ。位相の場合、最大元は離散位相であり、最小元は自明位相である。

集合上の位相の格子${\displaystyle X}$補元格子である。つまり、位相が与えられた場合$\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$位相が存在する${\displaystyle \tau '}$の上${\displaystyle X}$交差点${\displaystyle \tau \cap \tau '}$は自明な位相であり、和集合によって生成される位相である。${\displaystyle \tau \cup \tau '}$離散トポロジーである。^{[ 3 ] [ 4 ]}

セットの場合${\displaystyle X}$少なくとも３つの要素を持つ、トポロジーの格子${\displaystyle X}$モジュール型ではないため、^{[ 5 ]}分配型でもない。

• 初期トポロジーとは、集合から連続な写像の族を作るために集合上で最も粗いトポロジーのことである。
• 最終トポロジー、集合への写像の族を連続にするための集合上の最良のトポロジー

• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）