シーケンス空間

関数解析や数学の関連分野において、数列空間（すうれんかんきょう、英: Sequence Space）は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間である。同様に、数列空間は、自然数から実数または複素数の体Kへの関数を要素とする関数空間である。このような関数全体の集合は、Kに元を持つすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加算や点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できる。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間である。数列空間は、通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学において最も重要なシーケンス空間は、 pノルムを持つpべき加算可能シーケンスからなるℓ ^p空間です。これらは、自然数の集合上の計数測度に対するL ^p空間の特殊なケースです。収束シーケンスやヌルシーケンスなどの他の重要なシーケンスクラスは、それぞれcおよびc ₀で表され、超ノルムを持つシーケンス空間を形成します。任意のシーケンス空間は、点ごとの収束の位相を備えることもでき、その場合、 FK 空間と呼ばれる特別な種類のフレシェ空間になります。

集合内のシーケンスは 、その値が通常の括弧表記の代わりにで表される-値マップである。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x(n).}$

を実数または複素数の体とします。の元列全体の集合は、成分ごとの加算のベクトル 空間です。${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$

および成分ごとのスカラー乗算

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

シーケンス空間は、​${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

位相空間として、は自然に積位相を備えている。この位相の下では、はフレシェであり、これは完備、距離化可能、局所凸位相ベクトル空間(TVS)であることを意味する。しかし、この位相はかなり病的である。 には連続ノルムが存在しない(したがって、積位相はいかなるノルムによっても定義できない)。^[1] フレシェ空間の中で、は連続ノルムを持たないという点で極小である。 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

しかし、積位相も避けられません。積位相は、厳密に粗いハウスドルフの局所凸位相を許容しません。 ^[1] そのため、シーケンスの研究は、興味のある厳密な線形部分空間を見つけ、それに部分空間位相とは異なる位相を与えることから始まります。 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

は、を満たす すべてのシーケンスからなる部分空間です。${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell^{p}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N}}}$$${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}}$$

の場合、によって定義される 上の実数値関数は上のノルムを 定義します。実際、はこのノルムに関して完全な計量空間であるため、バナッハ空間です。 ${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle \ell^{p}}$$${\displaystyle \|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ すべての }}x\in \ell ^{p}} について$$${\displaystyle \ell^{p}.}$${\displaystyle \ell^{p}}$

の場合には、その標準内積が与えられたときもヒルベルト空間となり、これを${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \ell^{2}}$ユークリッド内積は、すべての場合で定義されます。この 内積によって誘導される標準ノルムは通常の-ノルムであり、すべての場合で${\displaystyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$$${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.}$$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}.}$

がノルムを備えた すべての有界シーケンスの空間として定義される場合、これもバナッハ空間です。 ${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

はノルムではなく、次のように定義される メトリックを持ちます。${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,}$$

収束する数列とは、存在する数列である。集合${\displaystyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle c}$すべての収束するシーケンスのベクトル部分空間は、${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$収束する数列の空間。すべての収束する数列は有界なので、は の線型部分空間です。上限ノルムに関して の 閉じた部分空間であるため、このノルムに関してバナッハ空間です。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

収束するシーケンスはヌルシーケンスと呼ばれ、${\displaystyle 0}$は消える。 に収束するすべてのシーケンスの集合はの閉じたベクトル部分空間であり、これに最大ノルム、次のように表されるバナッハ空間になる。${\displaystyle 0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c_{0}}$そして、ヌルシーケンスの空間または消失系列の空間。

の最終的にゼロシーケンスの空間、${\displaystyle c_{00},}$は、有限個の非ゼロ元のみを持つすべてのシーケンスからなるの部分空間です。これは閉じた部分空間ではないため、無限大ノルムに関してバナッハ空間ではありません。たとえば、最初の要素（ の場合）に対して が、それ以外のすべての要素（つまり ）に対して がゼロであるシーケンスはコーシーシーケンスですが、 のシーケンスには収束しません。${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{nk}=1/k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle c_{00}.}$

させて

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$、

は 上の有限列の空間 を表します。ベクトル空間として、は と等しいですが、位相が異なります。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

任意の自然数 に対して、はユークリッド位相を備えた通常のユークリッド空間を表し、 は標準的な包含を表すもの とする。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$。

各インクルージョンの イメージは

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

そしてその結果、

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$

この包含の族は、すべての包含が連続するような上の最も微細な位相として定義される最終的な位相を与えます (コヒーレント位相の例)。この位相により、は、フレシェ–ウリゾーンではない、完全な、ハウスドルフ、局所凸、連続、位相ベクトル空間になります。この位相は、によってに誘導される部分空間位相よりも厳密に微細でもあります。 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

における収束は自然な記述が可能です。つまり、 および がにおけるシーケンスである場合、 におけるおよびのみが最終的に単一のイメージに含まれ、そのイメージの自然なトポロジーに従います。 ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

多くの場合、各像は対応する と同一視されます。つまり、要素と は明示的に同一視されます。これは、 上の部分空間位相、写像 からの商位相、および 上のユークリッド位相がすべて一致するという事実によって容易になります。この同一視により、は、すべての包含が末尾にゼロを追加する 有向系の直接の極限になります。${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)}$。

これはLB スペースであることを示しています。 ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

有界級数の空間（bsで表記）は、 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

この空間は、標準装備されている場合

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

は線型写像を介して等長的に同型なバナッハ空間である${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

すべての収束級数から構成される部分空間cs は、この同型の下で 空間cに移行する部分空間です。

空間 Φ またはは、有限個の非ゼロ項のみを持つ無限シーケンス（有限サポートを持つシーケンス）全体の空間として定義されます。この集合は、多くのシーケンス空間で 稠密です。${\displaystyle c_{00}}$

^{ℓ 2}空間は、内積によって誘導される任意のノルムが平行四辺形法則を満たすはずなので、ヒルベルト空間である唯一の ℓ ^{p空間である。}

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

xとyに 2 つの異なる単位ベクトルを直接代入すると、 p = 2でない限り恒等式が真ではないことがわかります 。

各ℓ ^{p は}、p  <  s のときはいつでもℓ ^{p が}ℓ ^sの厳密な部分集合であるという点で独特です。さらに、p ≠ sのとき はℓ ^pはℓ ^sと線型同型ではありません。実際、ピットの定理 (Pitt 1936) によれば、p < sのときはℓ ^sからℓ ^pへのすべての有界線型演算子がコンパクトです。そのような演算子は同型にはなれません。さらに、 ℓ ^sの任意の無限次元部分空間上で同型にはなれないため、厳密に特異であると言われています。

1 <  p  < ∞ ならば、ℓ ^pの（連続）双対空間はℓ ^qと等長的に同型である。ここでq はpのヘルダー共役である：1/ p  + 1/ q = 1。特定の同型は、 ℓ ^qの 元xにℓ ^pのy に対する汎関数 を関連付ける。 ヘルダーの不等式は、 L _{x が}ℓ ^p上の有界線型汎関数であることを意味し、実際 、演算子ノルムは次を満たす。 $${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$$${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

実際、yをℓp の^元として

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$

はL _x ( y ) = || x || _qを与えるので、実際には

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

逆に、 ℓ ^p上の有界線形関数Lが与えられた場合、 x _n = L ( e _n )で定義される列はℓ ^qに含まれる。したがって、この写像は等長写像を与える。 ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$$${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

地図

${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$

_{κ p を}その転置の逆と合成して得られるものは、 ℓ ^qをその二重双対に標準的に注入することと一致する。結果として、 ℓ ^{q は}反射空間である。表記法の乱用により、 ℓ ^{q をℓ p}の双対と同一視するのが典型的である: (ℓ ^p ) ^*  = ℓ ^{q 。すると、反射性は同一視のシーケンス (ℓ p} ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^pによって理解される。

空間c _{0は、ノルムが ||} x || _∞と同一である、ゼロに収束するすべてのシーケンスの空間として定義されます。これは ℓ ^∞の閉じた部分空間であるため、バナッハ空間です。c ₀の双対はℓ ^{1です。 ℓ 1}の双対はℓ ^∞です。自然数指数集合の場合、 ℓ ^pとc _{0は、 ℓ} ^∞を除いて分離可能です。 ℓ ^∞の双対はba 空間です。

空間c ₀と ℓ ^p (1 ≤ p  < ∞) には、標準的な無条件Schauder 基底{ e _i  | i  = 1, 2,...} があります。ここで、e _{i は、} i^番目の要素が 1 である以外は 0 であるシーケンスです。

空間 ℓ ^1には、シューア特性があります。 ℓ ¹では、弱収束する任意のシーケンスは、強収束もします(Schur 1921)。ただし、無限次元空間上の弱位相は強位相よりも厳密に弱いため、 ℓ ¹には弱収束するが強収束しない ネットが存在します。

ℓ ^p空間は、多くのバナッハ空間に埋め込むことができます。すべての無限次元バナッハ空間が何らかの ℓ ^pまたはc ₀の同型を含むかどうかという疑問は、 1974 年にB.S. ツィレルソンがツィレルソン空間を構築したときに否定的に回答されました。すべての可分バナッハ空間はℓ ^1の商空間に線型等長であるという双対的な命題には、バナッハとマズール (1933) によって肯定的に回答されました。つまり、すべての可分バナッハ空間Xに対して商写像 が存在するので、X はと同型です。一般に、 ker Q はℓ ¹において補空間ではありません。つまり、となるℓ ¹の部分空間Y は存在しません。実際、ℓ ^{1 に}は互いに同型ではない非補部分空間が無数に存在します (たとえば、 の場合、そのようなXは無数に存在し、ℓ ^{p は他のどの ℓ p}とも同型ではないため、 ker Qも無数に存在します)。 ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$${\displaystyle X=\ell ^{p}}$

自明な有限次元の場合を除いて、ℓ ^pの珍しい特徴は、多項式的に反射的ではないことです。

に対して、空間はにおいて増加し、包含演算子は連続的です。 に対して、 が成り立ちます。実際、この不等式は において同次であるため、 という仮定の下でこれを証明すれば十分です。この場合、に対して であることを示すだけで十分です。しかし の場合、すべての に対してとなり、 となります。 ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$${\displaystyle q>p}$${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

H を可分ヒルベルト空間とする。H 内の任意の直交集合は最大でも可算である（つまり有限次元または を持つ）。^[2] 次の 2 つの項目は関連している。 ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• Hが無限次元の場合、 ℓ2と同型である^。
• dim( H ) = Nならば、 H は${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

ℓ ¹の要素の列が複素列ℓ ¹の空間に収束するのは、この空間で弱収束する場合に限ります。^[3] Kがこの空間の部分集合である 場合、以下は同値です。^[3]

1. Kはコンパクトです。
2. Kは弱コンパクトである。
3. Kは有界で閉じており、無限大で等小です。

ここで、Kが無限大で等小であるということは、任意の に対して、すべての に対してとなる自然数が存在することを意味します。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

• L ^pスペース
• ツィレルソン空間
• ベータデュアル空間
• オルリッツシーケンス空間
• ヒルベルト空間

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