ガトー誘導体

数学において、ガトー微分（またはガトー微分）は、微分積分学における方向微分の概念を一般化したものです。ルネ・ガトーにちなんで名付けられたこの微分は、バナッハ空間のような局所凸位相ベクトル空間間の関数に対して定義されます。バナッハ空間上のフレシェ微分と同様に、ガトー微分は、変分法や物理学で一般的に用いられる関数微分を形式化するためによく用いられます。

他の形式の微分とは異なり、関数のガトー微分は非線形演算子となる場合があります。ただし、ガトー微分の定義では、連続線形変換であることも要求されることがよくあります。ティホミロフ（2001）などの一部の著者は、ガトー微分（非線形となる場合がある）とガトー導関数（線形であるとみなされる）をさらに区別しています。ほとんどの応用では、連続線形性は、無限次元正則性の文脈で複素微分可能性を課したり、非線形解析で連続微分可能性を課したりするなど、特定の設定に自然な、より基本的な条件から導かれます。

仮定する${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$局所凸位相ベクトル空間（例えば、 バナッハ空間）である。${\displaystyle U\subseteq X}$開いています、${\displaystyle f:U\to Y.}$ ガトーの差分${\displaystyle df(x,v)}$の${\displaystyle f}$で${\displaystyle x\in U}$の方向に${\displaystyle v\in X}$は次のように定義される。

すべての制限が存在する場合${\displaystyle v\in X,}$そしてこう言う${\displaystyle F}$ガトーは微分可能ですか？${\displaystyle x.}$

（ １ ）に現れる極限は、のトポロジーに関して取られる。${\displaystyle Y.}$ もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$実位相ベクトル空間の場合、極限は実数に対して取られる。${\displaystyle t.}$一方、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$が複素位相ベクトル空間である場合、上記の極限は通常次のように解釈されます。$t→0$複素平面上では、複素微分可能性の定義と同様である。場合によっては、強い極限の代わりに弱い極限が取られ、弱いガトー微分の概念につながる。

各ポイントで${\displaystyle x\in U,}$ガトー微分は関数を定義する $${\displaystyle df_{x}(v):X\to Y.}$$

この関数は、すべてのスカラーに対して次の意味で同次である。${\displaystyle a}$、 $${\displaystyle df_{x}(av)=a\,df_{x}(v).}$$

しかし、この関数は加法的である必要はないため、ガトー微分はフレシェ微分とは異なり、線形にならない可能性がある。線形であっても、連続的に依存しない可能性がある。${\displaystyle v}$もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$無限次元である（つまり、${\displaystyle df_{x}(v)}$は非有界線形作用素である。さらに、ガトー微分は線形かつ連続であり、${\displaystyle v,}$それらの連続微分可能性を定式化するには、いくつかの異なる方法がある。

例えば、実数値関数を考えてみましょう。${\displaystyle f}$2 つの実変数で定義される $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$$ これはガトーで微分可能です${\displaystyle (0,0)}$その差分は $${\displaystyle dF((0,0),(a,b))={\begin{cases}{\dfrac {f(t(a,b))-0}{t}}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0).\end{cases}}}$$ しかし、これは引数に関して連続的だが線形ではない。${\displaystyle (a,b).}$無限次元では、任意の不連続線形汎関数${\displaystyle X}$ガトーは微分可能ですが、そのガトー微分は${\displaystyle 0}$線形ではあるが、連続ではない。

フレシェ微分との関係

もし${\displaystyle F}$関数がフレシェ微分可能であれば、ガトー微分可能でもあり、そのフレシェ微分とガトー微分は一致する。しかし、ガトー微分が線形または連続でない場合もあるため、その逆は明らかに成り立たない。実際、ガトー微分が線形かつ連続であっても、フレシェ微分が存在しないという場合もある。

それにもかかわらず、関数については${\displaystyle F}$複雑なバナッハ空間から${\displaystyle X}$別の複雑なバナッハ空間へ${\displaystyle Y,}$ガトー微分（複素数について極限をとる）${\displaystyle \tau }$複素微分可能性の定義にあるようにゼロに近づく場合、自動的に線形になる。これはゾルンの定理（1945年）である。さらに、${\displaystyle f}$（複素）ガトーは各点で微分可能ですか${\displaystyle x\in U}$導関数付き $${\displaystyle Df(v)\colon v\mapsto df(x,v)}$$ それから${\displaystyle f}$フレシェは微分可能か${\displaystyle U}$フレシェ微分を用いて${\displaystyle DF}$（ゾルン 1946 ） 。これは、関数が開集合内で複素微分可能であれば解析的であるという基本的な複素解析の結果に類似しており、無限次元正則性の研究における基本的な結果である。

連続微分可能性

連続ガトー微分可能性は、2 つの非等価な方法で定義できます。${\displaystyle F\colon U\to Y}$ガトーは開集合の各点で微分可能か${\displaystyle U.}$ 連続微分可能性の概念の一つは${\displaystyle U}$プロダクト空間へのマッピングには、$${\displaystyle df\colon U\times X\to Y}$$連続 である。線形性を仮定する必要はない。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$フレシェ空間である場合、${\displaystyle df_{x}(v)}$すべての${\displaystyle x}$（ハミルトン 1982 ）。

連続微分可能性のより強い概念は、 $${\displaystyle x\mapsto DF(x)}$$ 連続的なマッピングである $${\displaystyle U\to L(X,Y)}$$ から${\displaystyle U}$連続線形関数の空間へ${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y.}$ これは既に線形性を前提としていることに注意してください。${\displaystyle DF(x).}$

技術的な便宜上、連続微分可能性のこの後者の概念は、空間が${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$バナッハなので、${\displaystyle L(X,Y)}$もバナッハ空間であり、関数解析の標準的な結果を使用できます。前者は、関係する関数空間が必ずしもバナッハ空間ではない非線形解析の分野でより一般的な定義です。たとえば、フレシェ空間での微分は、ナッシュ・モーザー逆関数定理などの応用があり、関心のある関数空間は、多様体上の滑らかな関数で構成されることがよくあります。

高次のフレシェ微分は、同型性を使用して反復により多重線形関数として自然に定義されます。${\displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y)),}$高次のガトー微分はこのように定義することはできません。代わりに${\displaystyle n}$関数の 次ガトー微分${\displaystyle F:U\subseteq X\to Y}$の方向に${\displaystyle h}$定義される

これは多重線形関数ではなく、次数 の同次関数である。${\displaystyle n}$で${\displaystyle h.}$

高階微分の定義には、別の候補関数がある。

これは変分法において第二変分として自然に現れる。${\displaystyle F,}$少なくとも特別な場合${\displaystyle F}$はスカラー値である。しかし、これは、個別に同次であること以外には、合理的な性質を全く持たない可能性がある。${\displaystyle h}$そして${\displaystyle k.}$ 十分な条件を整えて、${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$は、の対称双線形関数である。${\displaystyle h}$そして${\displaystyle k,}$そしてそれは、${\displaystyle d^{n}F.}$

例えば、次の十分条件が成り立つ（ハミルトン 1982 ）。${\displaystyle F}$は${\displaystyle C^{1}}$マッピングが $${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$$は積位相 において連続であり、さらに、( 3 )で定義される2階微分も次の意味で連続である。 $${\displaystyle D^{2}F:U\times X\times X\to Y}$$ 連続である。${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$双線形かつ対称である${\displaystyle h}$そして${\displaystyle k.}$双線形性により、偏光恒等式が成り立つ。 $${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}$$ 2階微分を関連付ける${\displaystyle D^{2}F(u)}$ディファレンシャル付き${\displaystyle d^{2}F(u;-).}$ 高階微分についても同様の結論が成り立つ。

微積分学の基本定理の変形版は、ガトー微分に対して成り立つ。${\displaystyle F,}$提供された${\displaystyle F}$は十分に連続的に微分可能であると仮定する。具体的には：

• 仮に${\displaystyle F:X\to Y}$は${\displaystyle C^{1}}$ガトー微分が連続関数であるという意味で${\displaystyle dF:U\times X\to Y.}$ そして、どんな${\displaystyle u\in U}$そして${\displaystyle h\in X,}$$${\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt}$$ここで、積分はゲルファント・ペティス積分（弱積分）である（ヴァインバーグ（1964））。

導関数の他の多くのよく知られた性質、例えば高階導関数の多重線形性や可換性などは、このことから導かれる。さらに、基本定理の帰結として、次のような性質も挙げられる。

• （連鎖律）​$${\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}$$すべての人々のために${\displaystyle u\in U}$そして${\displaystyle x\in X.}$（重要な点として、単純な偏微分 と同様に、ガトー微分は、微分が不連続であってもよい場合、連鎖律を満たさない。）
• （テイラーの定理と剰余）線分が${\displaystyle u\in U}$そして${\displaystyle u+h}$完全に${\displaystyle U.}$ もし${\displaystyle F}$は${\displaystyle C^{k}}$それから$${\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}$$ここで、剰余項は次のように与えられる。$${\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}$$

させて${\displaystyle X}$ルベーグ可測集合上の二乗可積分関数のヒルベルト空間とする。${\displaystyle \Omega }$ユークリッド空間において${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$機能的 $${\displaystyle E:X\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))\,dx}$$ どこ${\displaystyle F}$は実変数の実数値関数であり、${\displaystyle u}$は定義される${\displaystyle \Omega }$実数値を持つガトー微分 $${\displaystyle dE(u;\psi )=\langle F'(u),\psi \rangle$$ :=\int _{\Omega }F'(u(x))\,\psi (x)\,dx.}

確かに、上記は限界である。${\displaystyle \tau \to 0}$の $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}$$

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