モンテルスペース

関数解析や数学の関連分野において、ポール・モンテルにちなんで名付けられたモンテル空間は、モンテルの定理の類似が成り立つ位相ベクトル空間(TVS) です。具体的には、モンテル空間は、すべての閉有界部分集合がコンパクトである樽型位相ベクトル空間です。

位相ベクトル空間（TVS）は、閉有界部分集合がコンパクトで場合、ハイネ・ボレルの性質を持つ。モンテル空間は、ハイネ・ボレルの性質を持つ樽型位相であるハウスドルフ 局所凸位相ベクトル空間がセミモンテル空間または完全とは、すべての有界部分集合相対的にコンパクトであること。^{[注 1]} TVS の部分集合がコンパクトであるためには、それが完全かつ完全に有界で。フレシェ-モンテル空間は、モンテル空間でもある フレシェ空間です

可分 フレシェ空間がモンテル空間となるための必要十分条件は、その連続双対における各弱収束列が強収束する場合である。^[1]

フレシェ空間 がモンテル空間であるための必要十分条件は、 のすべての有界連続関数が の閉有界絶対凸部分集合を の相対的にコンパクトな部分集合に送ることである 。さらに、 がフレシェ空間上のすべての有界連続関数のベクトル空間を表す場合、 がモンテルであるための必要十分条件は、 のコンパクト開位相でゼロに収束する のすべてのシーケンスが のすべての閉有界絶対凸部分集合上でもゼロに一様収束することである^[2]。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to c_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{0}.}$${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{b}(X)}$${\displaystyle X.}$

セミモンテルスペース

セミモンテル空間の閉じたベクトル部分空間もまたセミモンテル空間である。セミモンテル空間の族の局所凸直和もまたセミモンテル空間である。セミモンテル空間からなる逆システムの逆極限もまたセミモンテル空間である。セミモンテル空間の族（それぞれモンテル空間）の直積もまたセミモンテル空間（それぞれモンテル空間）である。

モンテルスペース

モンテル空間の強い双対はモンテルである。樽型 準完備 核空間はモンテル空間である。^{[1]モンテル} 空間族のすべての積と局所凸直和はモンテル空間である。 [1]モンテル空間の列の 厳密な帰納的極限はモンテル空間である。 ^[1] 対照的に、モンテル空間の閉部分空間と分離商は一般に反射的でさえない。^[1] すべてのフレシェ・ シュワルツ空間はモンテル空間である。^[3]

モンテル空間は準コンパクトかつ正規である。^[4] 半モンテル空間は準完全かつ半反射的であるが、モンテル空間は反射的である。

無限次元バナッハ空間はモンテル空間ではない。これはバナッハ空間がハイネ・ボレル性質を満たすことができないためである。すなわち、閉じた単位球は閉じていて有界であるが、コンパクトではない。 フレシェ・モンテル空間は可分であり、ボルノロジー的に強い双対を持つ。距離化可能なモンテル空間は可分である。^[1]

フレシェ・モンテルの空間は特別な空間です。

古典的な複素解析では、モンテルの定理は、複素数の開連結部分集合上の正則関数の空間がこの性質を持つと主張している。^[要出典]

現代の関心の高いモンテル空間の多くは、超関数の空間 に対するテスト関数の空間として生じている。の開集合上の滑らかな関数の空間は、 の半ノルム族^[5]によって誘導される位相を備えたモンテル空間で あり、 はのコンパクト部分集合上の値域を持ち、 は多重インデックスである。同様に、のすべてのコンパクト部分集合上の値域としての包含族の最終位相を備えた開集合上のコンパクトにサポートされた関数の空間もモンテル空間である。シュワルツ空間もモンテル空間である。 ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|}$$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega .}$

任意の無限次元ノルム空間は、モンテル空間ではない樽型空間である。 ^[6] 特に、任意の無限次元バナッハ空間はモンテル空間ではない。^[6]可分で ないモンテル空間が存在し、完全でないモンテル空間が存在する。^{[6]モンテル空間では}ない 閉ベクトル部分空間を持つモンテル空間が存在する。^[7]

• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• ボルノロジー空間 – 有界演算子が連続する空間
• ハイネ・ボレルの定理 – ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である必要がある。
• LBスペース
• LF空間 – 位相ベクトル空間
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化

• エドワーズ、ロバート E. (1995)。関数解析: 理論と応用。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977)。ボルノロジーと関数解析: 双対性トポロジー理論入門コース - ボルノロジーと関数解析におけるその使用。North -Holland Mathematics Studies。第26巻。アムステルダム、ニューヨーク、ニューヨーク: North Holland。ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981)。核空間と共核空間: 双対性「トポロジー-ボルノロジー」の観点から見た核空間と共核空間の入門コース。North -Holland Mathematics Studies。第 52 巻。アムステルダム、ニューヨーク、ニューヨーク: North Holland。ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC  316564345.
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Lindström, Mikael (1990-01-01). 「フレシェ・モンテル空間に関する注記」(PDF) .アメリカ数学会紀要. 108 (1). アメリカ数学会 (AMS): 191–196. doi :10.1090/s0002-9939-1990-0994780-8. ISSN  0002-9939.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• スワーツ、チャールズ (1992)。関数解析入門。ニューヨーク: M. デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• 「モンテル空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]