パーセバルの定理

数学において、パーセバルの定理は、通常、フーリエ変換がユニタリであるという結果を指します。つまり、関数の平方の和（または積分）は、その変換の平方の和（または積分）に等しいということです。^{[1]これは、1799年に}マルク＝アントワーヌ・パーセバルが級数について示した定理に由来し、後にフーリエ級数に適用されました。これは、ジョン・ウィリアム・ストラット、レイリー卿にちなんで、レイリーのエネルギー定理、またはレイリーの恒等式としても知られています。^[2]

「パーセバルの定理」という用語は、特に物理学において、フーリエ変換のユニタリー性を説明するためによく使用されますが、この性質の最も一般的な形式は、より正確にはプランシュレルの定理と呼ばれます。^[3]

およびは周期の複素数値関数であり、周期長 の区間にわたって（ルベーグ測度 に関して）2乗積分可能であり、フーリエ級数は${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

そして

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

それぞれ。その後

ここで は虚数単位で、水平バーは複素共役を表します。 と を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\Bigl (}a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots {\Bigr )}{\Bigl (}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots {\Bigr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

この例の中間項の場合と同様に、多くの項は長さの全周期にわたって積分されます（高調波を参照）。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}$

より一般的には、と が周期 の複素数値関数で、周期長 の区間にわたって（ルベーグ測度に関して）2乗積分可能である場合、フーリエ級数は${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle P}$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

そして

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

それぞれ。その後

さらに一般的には、ポントリャーギン双対G^を持つアーベル局所コンパクト群 Gが与えられたとき、パーセバルの定理によれば、ポントリャーギン-フーリエ変換はヒルベルト空間L ² ( G ) とL ² ( G^ ) の間のユニタリ演算子になります (積分は 2 つの群上の適切にスケールされたハール測度に対して行われます)。Gが単位円Tのとき、G^ は整数であり、これが上で説明したケースです。Gが実数直線のとき、G^ も整数であり、ユニタリ変換は実数直線上のフーリエ変換です。 G が巡回群Z _nのとき、これも自己双対であり、ポントリャーギン-フーリエ変換は応用分野で 離散フーリエ変換と呼ばれるものです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

パーセバルの定理は次のように表現することもできます。

が（つまり、およびがその区間で積分可能である）二乗積分可能な関数であるとし、フーリエ級数が ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)\simeq {\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx){\bigr )}.}$

その後^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$

電気工学では、パーセバルの定理は次のように記述されることが多いです。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}x(t){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(\omega ){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(2\pi f){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} f}$

ここで、は の連続フーリエ変換（非ユニタリ形式）を表し、 はラジアン/秒単位の周波数です。 ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$

この形式の定理の解釈は、信号の総エネルギーは、時間にわたるサンプルあたりの電力、または周波数にわたるスペクトル電力を合計することによって計算できるというものです。

離散時間 信号の場合、定理は次のようになります。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl |}X_{2\pi }({\phi }){\bigr |}^{2}\mathrm {d} \phi }$

ここで、は の離散時間フーリエ変換(DTFT) であり、の角周波数(サンプルあたりのラジアン単位)を表します。 ${\displaystyle X_{2\pi }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x}$

あるいは、離散フーリエ変換(DFT) の場合、関係は次のようになります。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}}$

ここで はの DFT であり、長さはです。 ${\displaystyle X[k]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle N}$

以下にDFTの場合を示します。他の場合の証明も同様です。の逆DFTの定義を使用して、次の式を導出できます。 ${\displaystyle X[k]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\Biggl (}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\Biggl (}\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\bigl (}N\cdot x^{*}[n]{\bigr )}\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2},\end{aligned}}}$

ここで は複素共役を表します。 ${\displaystyle *}$

パーセバルの定理は、ユニタリ変換を含む他の数学的結果と密接に関連しています。

• パーセヴァルの正体
• プランシュレルの定理
• ウィーナー・ヒンチンの定理
• ベッセルの不等式

• Mathworld のパーセバルの定理