シャウダー基底

数学において、シャウダー基底または可算基底は、ベクトル空間の通常の (ハメル)基底に似ています。違いは、ハメル基底は有限和となる線形結合を使用するのに対し、シャウダー基底の場合は無限和となる場合があることです。このため、シャウダー基底は、バナッハ空間を含む無限次元位相ベクトル空間の解析により適しています。

シャウダー基底は1927年にユリウス・シャウダーによって記述されたが^{[1] [2]、}そのような基底は以前にも議論されていた。例えば、ハール基底は1909年に与えられ、ゲオルク・ファーバーは1910年に区間上の連続関数の基底（ファーバー・シャウダー系と呼ばれることもある）について議論した。^[3]

V が体F上の位相ベクトル空間を表すものとする。シャウダー基底はVの元の 列{ b _n } であり、すべての元v ∈ Vに対してFのスカラーの 一意の列 {α _n }が存在するため、 無限和の収束は暗黙的に周囲の位相の収束、すなわちとなるが、ノルムベクトル空間（バナッハ空間など）では弱収束にのみ帰着できる。 ^[4]ハメル基底 とは異なり、級数が無条件に収束しない可能性があるため、基底の元は順序付けられていなければならない。  $${\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty}{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}$$

シャウダー基底を可算と定義する著者もいれば、この用語を非可算基底も含むものとして使用する著者もいることに注意してください。いずれの場合も、和自体は常に可算です。非可算シャウダー基底は、シーケンスではなく線形順序の集合であり、各和はこの線形順序から項の順序を継承します。これらは実際に発生することがあります。たとえば、可分 ヒルベルト空間は可算シャウダー基底のみを持つことができますが、非可分ヒルベルト空間は非可算シャウダー基底を持つことができます。

上記の定義は技術的にはノルム空間を必要としませんが、Schauder 基底について有用なことを述べるにはノルムが必要です。以下の結果はノルムの存在を前提としています。

シャウダー基底{ b _n } _{n ≥ 0}は、バナッハ空間V内のすべての基底ベクトルのノルムが1であるとき、 正規化されていると言われます。

V内のシーケンス{ x _n } _{n ≥ 0}は、その閉じた線形スパンの Schauder 基底である場合に基本シーケンスと呼ばれます。

2つのシャウダー基底、Vの{ b _n }とWの{ c _n }は、 2つの定数c > 0とCが存在し、すべての自然数N ≥ 0とスカラーのすべてのシーケンス{α _n }に対して、

${\displaystyle c\left\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}$

Vのベクトル族が全ベクトル族であるとは、その線型範囲（有限線型結合の集合）がVにおいて稠密である場合です。V がヒルベルト空間である場合、直交基底は、 Bの要素が非ゼロかつ対直交であるようなVの全部分集合Bです。さらに、 Bの各要素のノルムが 1 である場合、B はVの正規直交基底です。

{ b _n } をF  = Rまたは C上のバナッハ空間Vのシャウダー基底とする。開写像定理の微妙な帰結として、次のように定義される線型写像 { P _n } は

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

は定数Cによって一様に制限される。^[5] C = 1のとき、基底は単調基底と呼ばれる。写像{ P _n }は基底射影である。

{ b* _n } を座標関数と表すと、b* _{n は}Vのすべてのベクトルvに上記の展開におけるvの座標 α _nを割り当てる。各b* _{n は}V上の有界線型関数である。実際、 Vのすべてのベクトルvに対して、

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

これらの関数 { b* _n } は基底 { b _n } に関連付けられた双直交関数と呼ばれます。基底 { b _n } が正規化されると、座標関数 { b* _n } はVの 連続双対V  ′でノルム ≤ 2 Cを持ちます。

シャウダー基底を持つバナッハ空間は必然的に可分であるが、その逆は偽である。シャウダー基底を持つバナッハ空間V内の任意のベクトルvはP _n ( v )の極限であり、 P _nは有限階数で一様に有界であるため、そのような空間V は有界近似特性を満たしている。

マズール^[6]に帰せられる定理は、すべての無限次元バナッハ空間Vは基本列を含む、すなわち、シャウダー基底を持つVの無限次元部分空間が存在することを主張する。基底問題とは、すべての可分バナッハ空間がシャウダー基底を持つかどうかというバナッハの問いである。これは、近似性を満たさない可分バナッハ空間、つまりシャウダー基底を持たない空間を構築したペル・エンフロによって否定的に答えられた。^[7]

c ₀およびℓ ^p (1 ≤ p < ∞)の標準単位ベクトル基底 は単調シャウダー基底です。この単位ベクトル基底{ b _{n } では、} V = c ₀またはV = ℓ ^pのベクトルb _nはスカラー列[ b _{n , j} ] _jです。ここで、 n番目の座標を除くすべての座標b _{n, j}は 0 です。

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j} 、}$

ここで、δ _{n, j}はクロネッカーのデルタです。空間 ℓ ^∞は可分ではないため、シャウダー基底はありません。

可分ヒルベルト空間のすべての正規直交基底はシャウダー基底です。すべての可算正規直交基底は ℓ ²の標準単位ベクトル基底に相当します。

ハール系は、 1 ≤ p < ∞ のとき、 L ^p ([0, 1])の基底の一例である 。^[2] 1 < p  < ∞ のとき、別の例としては、以下に定義される三角関数系がある。最大ノルムを持つ区間 [0, 1] 上の連続関数のバナッハ空間C ([0, 1]) は、シャウダー基底を許容する。ファーバー・シャウダー系は、C ([0, 1])の最も一般的に使用されるシャウダー基底である 。 ^{[3] [8]}

古典空間の基底はバナッハの本が出版される前にいくつか発見されていたが（Banach (1932)）、他のいくつかの場合は長い間未解決のままだった。例えば、円板代数 A ( D ) がシャウダー基底を持つかどうかという問題は、1974年にボチカレフがフランクリン系から構成される基底がA ( D )内に存在すること を示すまで、40年以上も未解決のままだった。 ^[9]周期フランクリン系^[10]がA ( D )と同型の バナッハ空間A _r^{の基底であることも証明できる。 [11]} この空間A _rは、共役関数も連続である単位円T上のすべての複素連続関数から構成される。フランクリン系はC ([0, 1])の別のシャウダー基底であり^{[12] 、} 1 ≤ p < ∞のときL ^p ([0, 1]) のシャウダー基底である。^[13]フランクリンシステムから導出されたシステムは、単位正方形上の微分可能関数の 空間C ¹ ([0, 1] ² )の基底を与える。 ^[14] C ¹ ([0, 1] ² )におけるシャウダー基底の存在は、バナッハの本からの質問であった。^[15]

{ x _n } を実際の関数列とする。

${\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}$

あるいは、複雑な場合には、

${\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}$

数列 { x _n } は三角関数システムと呼ばれます。これは、 1 < p < ∞となる任意のpに対して、空間L ^p ([0, 2 π ])のシャウダー基底です。p = 2の場合、これはリース・フィッシャーの定理 の内容であり、p ≠ 2 の場合、これは円上のヒルベルト変換の空間L ^p ([0, 2 π ]) 上の有界性の結果です。この有界性から、次で定義される 射影P _{N が成り立ちます。}

${\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}$

1 < p < ∞のとき、 L ^p ([0, 2 π ])上で一様有界である。この写像族 { P _N }は等連続であり、三角多項式からなる稠密な部分集合上で恒等写像に近づく。したがって、すべてのf ∈ L ^p ([0, 2 π ])に対して、 P _N f はL ^pノルムでfに近づく。言い換えれば、 { x _n } はL ^p ([0, 2 π ])のシャウダー基底である。^[16]

しかし、集合 { x _n } はL ¹ ([0, 2 π ])の Schauder 基底ではありません。これは、 L ^{1に、フーリエ級数が}L ¹ノルムに収束しない関数が存在すること、または同等に、射影P _{N が}L ¹ノルムで一様に制限されないことを意味します。また、集合 { x _n } はC ([0, 2 π ]) の Schauder 基底ではありません。

ヒルベルト空間 ℓ ^2上のコンパクト作用素の空間K (ℓ ² )にはシャウダー基底がある。ℓ ^{2内の任意の}x , yに対して、x ⊗ y はランク 1作用素v ∈ ℓ ² → < v , x > yを表すものとする。{ e _n } _{n ≥ 1}^{が ℓ 2}の標準正規直交基底である場合、 K (ℓ ² )の基底は^[17]のシーケンスで与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{ 2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n}, e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}$

任意のnに対して、この基底の最初のn ²ベクトルからなるシーケンスは、 1 ≤ j、k ≤ nに対して、ファミリ { e _j ⊗ e _k } の適切な順序です。

前述の結果は一般化できる。基底を持つバナッハ空間Xは近似特性を持つので、 X上のコンパクト作用素の空間K ( X )は、入射テンソル積に等長同型である^[18]。

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}$

Xがシャウダー基底{ e _n } _{n ≥ 1}を持つバナッハ空間であり、双直交関数が双対の基底、つまり縮小基底を持つバナッハ空間である場合、空間K ( X ) は、ランク 1 演算子e * _j ⊗ e _k  : v → e * _j ( v ) e _kによって形成される基底を、前と同じ順序で受け入れます。^[17] これは特に、シャウダー基底を持つ すべての反射バナッハ空間Xに当てはまります。

一方、空間B (ℓ2 ⁾は非可分なので基底を持たない。さらに、 B (ℓ2 ⁾は近似性を持たない。^[19]

シャウダー基底 { b _n } が無条件であるとは、 級数が収束するときはいつでも無条件に収束することを意味する。シャウダー基底 { b _n } の場合、これは定数Cが存在し、 ${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

すべての自然数n、すべてのスカラー係数 {α _k } 、すべての符号ε _k = ±1に対して成り立つ。無条件性は、合計の順序を忘れることができるため重要な特性である。シャウダー基底が対称的であるとは、それが無条件であり、そのすべての順列に対して一様に同値である場合である。つまり、すべての自然数n、集合{0, 1, ..., n } のすべての順列 π 、すべてのスカラー係数 {α _k } 、すべての符号 {ε _k } に対して、定数 C が存在し、

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

1 ≤ p < ∞ に対する数列空間 c ₀と ℓ ^pの標準基底 、およびヒルベルト空間のすべての正規直交基底は無条件である。これらの基底は対称的でもある。

三角関数システムは、 p = 2の場合を除き、L ^pにおける無条件基底ではありません 。

ハール系は、1 < p < ∞の任意のL ^pにおける無条件基底である 。空間L ¹ ([0, 1])には無条件基底がない。^[20]

当然の疑問は、すべての無限次元バナッハ空間が無条件基底を持つ無限次元部分空間を持つかどうかである。これは1992年にティモシー・ガワーズとバーナード・モーリーによって否定的に解決された。 ^[21]

バナッハ空間Xの基底{ e _n } _{n ≥0が}有界完備であるとは、任意のスカラー列{ a _n } _{n ≥0}に対して、部分和が

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

がXで有界であれば、列 { V _n }はXで収束する。 ℓ ^p（1 ≤ p < ∞ ）の単位ベクトル基底は有界完備である。しかし、単位ベクトル基底はc ₀では有界完備ではない。実際、任意のnに対してa _n  = 1であれば、

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

あらゆるnに対して、 || V _{n +1} − V _n || = 1 である ため、 シーケンス { V _n } はc ₀で収束しません。

有界完備基底{ e _n } _{n ≥0}を持つ空間Xは双対空間と同型である。すなわち、空間Xは基底{ e _n }に関連付けられた双直交関数の双対X  ′内の閉じた線形スパンの双対と同型である。^[22]

Xの基底 { e _n } _{n ≥0}が縮小するとは、 X上の任意の有界線形関数fに対して、非負数の列

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

n → ∞のとき 0 に近づく。ここでF _{n は}m ≥ nの基底ベクトルe _{mの線形範囲である。 ℓ} ^p、 1 < p < ∞ 、またはc ₀の単位ベクトル基底は縮小している。 ℓ ¹では縮小していない。fが ℓ ¹上の有界線形汎関数で、次式で与えられる 場合

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

すると、任意のnに対してφn≥f ( en )= ₁と_なる。

Xの基底[ e _n ] _{n ≥ 0}が縮小する場合、かつその場合のみ、双直交関数[ e * _n ] _{n ≥ 0が双対}X  ′の基底を形成する。^[23]

ロバート・C・ジェームズは、基底を持つバナッハ空間の反射性を特徴づけた。シャウダー基底を持つ空間Xが反射的であるための必要条件は、基底が縮小かつ有界完備である場合である。^{[24]ジェームズはまた、無条件基底を持つ空間が非反射的であるための必要条件は、} c ₀または ℓ ¹ に同型な部分空間を含むことであると証明した。^[25]

ハメル基底はベクトル空間Vの部分集合Bであり、Vのあらゆる元v∈Vは一意に次のように書ける。

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

α _b ∈ Fであるが、集合

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

は有限である。この性質により、無限次元バナッハ空間に対するハメル基底は扱いにくくなる。無限次元バナッハ空間のハメル基底は非可算でなければならないからである。（無限次元バナッハ空間Xのすべての有限次元部分空間は空の内部を持ち、Xのどこにも稠密ではない。したがって、ベールのカテゴリ定理から、これらの有限次元部分空間の基底の可算和は基底として機能できないことが分かる。^[26]）

• マルクシェビッチ基底
• 一般化フーリエ級数
• 直交多項式
• ハールウェーブレット
• バナッハ空間

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