補間空間

数学的解析の分野において、補間空間は、他の 2 つのバナッハ空間の「間」にある空間です。主な応用はソボレフ空間で、非整数個の導関数を持つ関数の空間が整数個の導関数を持つ関数の空間から補間されます。

ベクトル空間の補間理論は、Józef Marcinkiewiczの観察から始まり、後に一般化され、現在ではRiesz-Thorin の定理として知られています。簡単に言えば、線形関数が特定の空間L ^p上で連続であり、また特定の空間L ^qでも連続である場合、 pとqの任意の中間のrに対して、その線形関数は空間L ^rでも連続します。言い換えると、L ^{r は}L ^pとL ^qの中間の空間です。

ソボレフ空間の開発において、トレース空間は通常の関数空間（導関数が整数個）のいずれでもないことが明らかになり、ジャック＝ルイ・リオンは実際にこれらのトレース空間が非整数の微分可能度を持つ関数で構成されていることを発見しました。

このような関数空間を生成するために、フーリエ変換、複素補間^[1] 、 実補間^[2] 、 およびその他のツール（分数微分など）を含む多くの方法が設計されました。

バナッハ空間 Xがハウスドルフ位相ベクトル空間Zに連続的に埋め込まれているとは、X がZの線型部分空間であり、 XからZへの包含写像が連続していることを意味する。バナッハ空間の両立可能な対( X ₀ , X ₁ )は、同じハウスドルフ位相ベクトル空間Zに連続的に埋め込まれた2 つのバナッハ空間X ₀とX ₁から構成される。^{[3]線型空間}Zへの埋め込みにより、2 つの線型部分空間

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}}$

そして

${\displaystyle X_{0}+X_{1}=\left\{z\in Z:z=x_{0}+x_{1},\ x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}}.}$

補間は、 X ₀とX ₁の同型（または等長）同値類だけに依存するのではなく、X ₀とX ₁がより大きな空間Zで占める特定の相対位置に本質的に依存します。

X ₀ ∩ X ₁とX ₀ + X ₁のノルムは次のように 定義できる。

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}\cap X_{1}}:=\max \left(\left\|x\right\|_{X_{0}},\left\|x\right\|_{X_{1}}\right),}$

${\displaystyle \|x\|_{X_{0}+X_{1}}:=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\;x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

これらのノルムを備えると、交差と和はバナッハ空間になります。次の包含はすべて連続です。

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X_{0},\ X_{1}\subset X_{0}+X_{1}.}$

補間は、 X ₀とX _{1 の}間の中間空間である空間Xの族を研究する。

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X\subset X_{0}+X_{1},}$

ここで、2 つの包含マップは連続しています。

この状況の一例として、 ( L ¹ ( R ), L ^∞ ( R )) のペアが挙げられます。このペアでは、2 つのバナッハ空間が、測度収束の位相を備えた実数直線上の測定可能な関数の空間Zに連続的に埋め込まれています。この状況では、 1 ≤ p ≤ ∞に対する空間L ^p ( R )は、L ¹ ( R )とL ^∞ ( R )の中間です。より一般的には、

${\displaystyle L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subset L^{p}(\mathbf {R} )\subset L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{when}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,}$

連続注入では、与えられた条件下では、L ^p ( R )はL ^{p ₀} ( R )とL ^{p ₁} ( R )の中間になります。

定義。 2 つの互換性のあるカップル( X ₀、X ₁ )と( Y ₀、Y ₁ )が与えられた場合、補間ペアは、次の 2 つの特性を持つバナッハ空間のカップル( X、Y )です。

• 空間XはX ₀とX ₁の中間であり、空間YはY ₀とY ₁の中間です。
• LがX ₀ + X _1からY ₀ + Y ₁までの任意の線形演算子であり、 X _0をY ₀に、X _1をY ₁に連続的にマッピングする場合、 XもYに連続的にマッピングされます。

補間ペア （X、Y）は、定数Cが存在し、​

${\displaystyle \|L\|_{X,Y}\leq C\|L\|_{X_{0},Y_{0}}^{1-\theta }\;\|L\|_{X_{1},Y_{1}}^{\theta }}$

すべての演算子Lに対して上記と同様です。表記|| L || _{X , Y は}、XからYへの写像としてのLのノルムを表します。C = 1の場合、 ( X , Y ) は指数θの正確な補間ペアであると言えます。

スカラーが複素数の場合、複素解析関数の特性を使用して補間空間を定義します。バナッハ空間の互換性のあるカップル ( X ₀、X ₁ ) が与えられた場合、線型空間は、 S = { z :   0 _<  Re( z ) < ₁ } で解析的であり、 S = { z : 0  ≤ Re( z ) ≤ 1} で連続であり、次のすべての部分集合が有界であるすべての関数 f : C → X 0 + X 1で構成されます。${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$ 

{  f  ( z ) : z ∈ S } ⊂ X ₀ + X ₁ ,

{  f  ( it ) : t ∈ R } ⊂ X ₀、

{  f  (1 + it ) : t ∈ R } ⊂ X ₁。

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$はノルムの下でバナッハ空間である

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(it)\|_{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(1+it)\|_{X_{1}}\right\}.}$

定義. ^[4] 0 < θ < 1の場合、複素補間空間 ( X ₀ , X ₁ ) _θは、関数の前の空間で fが変化するときのすべての値f ( θ )からなるX ₀ + X _{1の線形部分空間です。}

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta }=\left\{x\in X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}}.}$

複素補間空間（X ₀、X ₁）_θ上のノルムは次のように定義される。

${\displaystyle \\|x\|_{\theta }=\inf \left\{\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}\ :\ f(\theta )=x,\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.}$

このノルムを備える複素補間空間( X ₀ , X ₁ ) _θはバナッハ空間です。

定理. ^[5] 2つの互換性のあるバナッハ空間のペア( X ₀ , X ₁ )と( Y ₀ , Y ₁ )が与えられたとき、ペア(( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ )は指数θの正確な補間ペアである。つまり、T  : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y _1がX _jからY _j , j = 0, 1に有界な線型演算子である場合、T は( X ₀ , X ₁ ) _θから( Y ₀ , Y ₁ ) _θに有界であり、$${\displaystyle \|T\|_{\theta }\leq \|T\|_{0}^{1-\theta }\|T\|_{1}^{\theta }.}$$

L ^p空間（複素数値関数からなる）の族は複素補間の下でうまく動作します。 ^[6] ( R , Σ, μ )が任意の測度空間で、1 ≤ p ₀、p ₁ ≤ ∞ かつ0 < θ < 1の場合、

${\displaystyle \left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }= L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},}$

ノルムの等価性を持つ。この事実はリース・ソーリンの定理と密接に関係している。

実補間法を導入する方法は 2 つあります。補間空間の例を実際に特定するときに最も一般的に使用される最初の方法は K 法です。2 番目の方法である J 法は、パラメータθが(0, 1)にあるときに K 法と同じ補間空間を与えます。J 法と K 法が一致することは、補間空間の双対の研究にとって重要です。基本的に、K 法によって構築された補間空間の双対は、J 法によって双対のカップルから構築された空間であるように見えます (以下を参照)。

実補間のK法^[7]は実数体R上のバナッハ空間に使用できる。

定義。( X ₀ , X ₁ )をバナッハ空間の両立可能な対とする。t > 0および任意のx ∈ X ₀ + X ₁に対して、

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+t\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

2つのスペースの順序を変えると次のようになります: ^[8]

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=tK\left(x,t^{-1};X_{1},X_{0}\right).}$

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}\|x\|_{\theta ,q;K}&=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}},&&0<\theta <1,1\leq q<\infty ,\\\|x\|_{\theta ,\infty ;K}&=\sup _{t>0}\;t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1}),&&0\leq \theta \leq 1.\end{aligned}}}$

実補間のK法は、K _θ、q ( X ₀、X ₁ )を、 || x || _{θ、q ; K} < ∞となるすべてのxで構成されるX ₀ + X ₁の線形部分空間と見なすことです。

重要な例としては、関数K ( t 、 f ; L 1 、 L ∞ ) が明示的に計算できる対( L 1 ( R  、Σ ^、 μ ) ⁾が^あります。測度μは^σ有限であると仮定します。この文脈では、関数f ∈ L ¹ + L ^∞を2 つの関数f ₀   ∈ L ¹とf ₁ ∈ L ^∞の和として切り出す最良の方法は、tの関数として選択されるs > 0に対して、すべてのx ∈ Rに対して f ₁ ( x ) が次のように与えられるようにすることです。      

${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}f(x)&|f(x)|<s,\\{\frac {sf(x)}{|f(x)|}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

sの最適な選択は式^{[9]を導く。}

${\displaystyle K\left(f,t;L^{1},L^{\infty }\right)=\int _{0}^{t}f^{*}(u)\,du,}$

ここで、f  ^{∗ は}fの減少並べ替えです。    

K 法と同様に、J 法は実バナッハ空間に使用できます。

定義。( X ₀ , X ₁ )をバナッハ空間の両立可能な対とする。t > 0かつ任意のベクトルx ∈ X ₀ ∩ X ₁に対して、$${\displaystyle J(x,t;X_{0},X_{1})=\max \left(\|x\|_{X_{0}},t\|x\|_{X_{1}}\right).}$$

X ₀ + X ₁のベクトルxが補間空間J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ )に属するのは、次のように書ける場合のみである。

${\displaystyle x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\frac {dt}{t}},}$

ここでv ( t )はX0∩X1の_範囲内の値で測定可能_であり 、

${\displaystyle \Phi (v)=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }J(v(t),t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}<\infty .}$

J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ )におけるxのノルムは、次の式で与えられる。

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;J}:=\inf _{v}\left\{\Phi (v)\ :\ x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\tfrac {dt}{t}}\right\}.}$

0 < θ < 1の場合、2つの実数補間法は同等である。^[10]

定理。( X ₀ , X ₁ )をバナッハ空間の両立する対とする。0 < θ < 1かつ1 ≤ q ≤ ∞ならば、ノルムの同値性を持つ。$${\displaystyle J_{\theta ,q}(X_{0},X_{1})=K_{\theta ,q}(X_{0},X_{1}),}$$

この定理は、除外されていない退化したケースもカバーします。たとえば、X ₀とX ₁が直和を形成する場合、交差と J 空間はヌル空間であり、簡単な計算により K 空間もヌルであることが示されます。

0 < θ < 1のとき、等価な再ノルム化を除けば、パラメータθとqを持つ実補間法によって得られるバナッハ空間について語ることができる。この実補間空間の表記は( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q}である。

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}=(X_{1},X_{0})_{1-\theta ,q},\qquad 0<\theta <1,1\leq q\leq \infty .}$

θの値が与えられた場合、実補間空間はqとともに増加する。^[11] 0 < θ < 1かつ1 ≤ q ≤ r ≤ ∞の場合、次の連続包含が成り立つ。

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,r}.}$

定理。0 < θ < 1、1 ≤ q ≤ ∞で、2つの互換性のある対( X ₀、X ₁ )と( Y ₀、Y ₁ )が与えられたとき、対(( X ₀、X ₁ ) _θ、q、( Y ₀、Y ₁ ) _θ、q )は指数θの正確な補間対である。^[12]

複素補間空間は、通常、実補間法によって与えられた空間の 1 つと同型ではありません。ただし、一般的な関係があります。

定理。( X ₀ , X ₁ )をバナッハ空間の両立可能な対とする。0 < θ < 1ならば、$${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta }\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty }.}$$

X ₀ = C ([0, 1])かつX 1 ₌ C 1 ⁽ [0, 1]) （[0, 1]上の連続微分可能関数の空間）のとき、0 < θ < 1に対する( θ , ∞)補間法は、指数θのヘルダー空間C ^{0, θ}を与える。これは、この対の K 関数K ( f , t ; X ₀ , X ₁ )が次と等価である ためである。

${\displaystyle \sup \left\{|f(u)|,\,{\frac {|f(u)-f(v)|}{1+t^{-1}|u-v|}}\ :\ u,v\in [0,1]\right\}.}$

ここで興味深いのは、 0 < t < 1の値のみです。

Lp空間間の実補間は^[13]ローレンツ空間の族を与える。0 < θ < 1かつ1 ≤ q ≤ ∞^を仮定すると、次式が得られる。

${\displaystyle \left(L^{1}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),L^{\infty }(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta ,q}=L^{p,q}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),\qquad {\text{where }}{\tfrac {1}{p}}=1-\theta ,}$

同等のノルムを持つ。これはハーディの不等式と、この両立するカップルに対する K 汎関数の上記値から導かれる。q = pのとき、ローレンツ空間L ^{p , p は}、再ノルム化を除けばL ^pに等しい。q = ∞のとき、ローレンツ空間L ^{p ,∞}は弱L ^pに等しい。

適合するカップル（X ₀、X ₁）の中間空間Xは、次の場合θクラスであると言われる： ^[14]

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty },}$

連続注入を伴う。パラメータθおよび1 ≤ q ≤ ∞を持つすべての実補間空間( X ₀ , X ₁ ) _θ、qの他に、複素補間空間( X ₀ , X ₁ ) _θは、適合するカップル( X ₀ , X ₁ )のクラスθの中間空間です。

反復定理は、本質的には、パラメータθによる補間は、何らかの形で凸結合 a = (1 − θ ) x ₀ + θx ₁を形成するのと同じように動作することを示しています。つまり、2 つの凸結合のさらに別の凸結合を取ると、別の凸結合が得られます。

定理^[15] A ₀、A _{1 をそれぞれ}θ ₀とθ ₁のクラスである適合する対( X ₀、X ₁ )の中間空間とし、0 < θ ₀ ≠ θ ₁ < 1とする。0 < θ < 1かつ1 ≤ q ≤ ∞のとき、$${\displaystyle (A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(X_{0},X_{1})_{\eta ,q},\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

実数法でA ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0}とA ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1}の間を補間する場合、 θ ₀とθ ₁の値のみが重要であることに注意してください。また、A ₀とA _{1 は、それぞれパラメータ}θ ₀とθ ₁を持つ、X ₀とX ₁の間の複素補間空間になる場合があります。

複素法にも反復定理が存在します。

定理. ^[16] ( X ₀ , X ₁ )を複素バナッハ空間の両立する対とし、 X ₀ ∩ X _1はX ₀とX ₁に稠密であるとする。A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0}およびA ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1}とする。ただし、0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 とする。さらに、 X ₀ ∩ X _{1 は}A ₀ ∩ A ₁に稠密であるとする。すると、任意の0 ≤ θ ≤ 1に対して、$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$$

密度条件は、X ₀ ⊂ X ₁またはX ₁ ⊂ X ₀のときに常に満たされます。

( X ₀ , X ₁ )を両立するカップルとし、 X 0 ∩ X 1 が X 0 と X 1 に稠密であると仮定する。この_場合、X _j , _j = 0 _, 1の (連続) 双対から X 0 ∩ X 1 の双対への制限写像は1_対1である。したがって 、_この双対は_、双対( X 0 _∩ X 1 ₎ ′に連続的に埋め込まれた両立するカップルであることがわかる。 ${\displaystyle X'_{j}}$${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)}$

複素補間法の場合、次の双対性の結果が成り立ちます。

定理. ^[17] ( X ₀ , X ₁ )を複素バナッハ空間の両立可能な対とし、X 0 _∩ X 1_がX ₀とX ₁に稠密であると仮定する。X ₀とX ₁が反射的であれば、複素補間空間の双対は、双対を補間することによって得られる。$${\displaystyle ((X_{0},X_{1})_{\theta })'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta },\qquad 0<\theta <1.}$$

一般に、空間( X ₀ , X ₁ ) _θの双対は、複素数法の変形によって定義される空間に等しい^{[17] 。 [18]上θ法と下θ法は一般には一致しないが、} X ₀、X ₁の少なくとも一方が反射空間である場合は一致する。^[19]${\displaystyle \left(X'_{0},X'_{1}\right)^{\theta },}$

実補間法では、パラメータ qが有限であれば双対性が成立します。

定理^[20] 0 < θ < 1, 1 ≤ q < ∞、( X ₀ , X ₁ )を両立する実バナッハ空間の対とする。X ₀ ∩ X _1はX ₀とX ₁に稠密であると仮定する。ここで$${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta ,q}\right)'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta ,q'},}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{q'}}=1-{\tfrac {1}{q}}.}$

関数t → K ( x , t )は規則的に変化する（増加しているが、⁠1/t⁠ K ( x , t )が減少する場合、これまで積分によって与えられたベクトルnのK _{θ , q}ノルムの定義は^{、級数によって与えられた定義と同等である。 [21]この級数は、測度 ⁠ に対して}(0, ∞) を等しい質量の断片(2 ⁿ , 2 ^{n +1} )に分割することによって得られる。d t/t⁠、

${\displaystyle \|x\|_{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

X _{0 が}X ₁に連続的に埋め込まれている特殊なケースでは、負の添え字nを持つ級数の部分を省略することができます。この場合、関数x → K ( x , 2 ⁿ ; X ₀ , X ₁ )のそれぞれは、 X ₁上の同等のノルムを定義します。

補間空間( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q は}、一連のバナッハ空間のℓ ^q和の「対角部分空間」です(各バナッハ空間はX ₀ + X ₁に同型です)。したがって、qが有限の場合、 ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q}の双対は、双対のℓ ^p和の商です。⁠1/p⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 であり、これは( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q}の双対における関数x'の離散J _{θ , p}ノルムの次の式につながります。

${\displaystyle \|x'\|_{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{0}},2^{-n}\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.}$

離散Jθ _{、pノルムの通常の式は、} nを−nに変更することによって得られます。

離散的な定義により、すでに述べた双対の識別など、いくつかの問題の研究が容易になります。その他のそのような問題は、線形演算子のコンパクト性または弱コンパクト性です。Lions と Peetre は次のことを証明しました。

定理^[22]線型作用素TがX0からバナッハ空間Y_へコンパクトで、X1からYへ有界である場合、0< θ _< 1、1≤q≤∞の_とき、Tは( _X0 , X1 ) θ _{, qから}Yへコンパクトである。

Davis、Figiel、Johnson、Pełczyński は、次の結果の証明に補間を使用しました。

定理^[23] 2つのバナッハ空間間の有界線型作用素は、それが反射空間を介して因数分解される場合に限り、弱コンパクトである。

離散定義に用いられる空間ℓ ^{q は}、無条件基底を持つ任意のシーケンス空間 Yに置き換えることができ、 K _θ、qノルムに用いられる重みa _n = 2 ^{− θn}、b _n = 2 ^{(1− θ ) nは}、一般的な重みに置き換えることができる。

${\displaystyle a_{n},b_{n}>0,\ \ \sum _{n=1}^{\infty }\min(a_{n},b_{n})<\infty .}$

補間空間K ( X ₀ , X ₁ , Y , { a _n }, { b _n })は、 X ₀ + X ₁内のベクトルxから成り、^[24]

${\displaystyle \|x\|_{K(X_{0},X_{1})}=\sup _{m\geq 1}\left\|\sum _{n=1}^{m}a_{n}K\left(x,{\tfrac {b_{n}}{a_{n}}};X_{0},X_{1}\right)\,y_{n}\right\|_{Y}<\infty ,}$

ここで、{ y _n } はYの無条件基底です。この抽象メソッドは、たとえば次の結果の証明に使用できます。

定理^{[25]無条件基底を持つバナッハ空間は}対称基底を持つ空間の補部分空間と同型である。

R ⁿ上のソボレフ空間とベゾフ空間についてはいくつかの補間結果が得られている。^[26]

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{p}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p\leq \infty \\&B_{p,q}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p,q\leq \infty \end{aligned}}}$

これらの空間は、 s ≥ 0のときはR ⁿ上の可測関数の空間であり、s < 0のときはR ⁿ上の緩和超関数の空間である。このセクションの残りの部分では、次の設定と表記法を使用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\theta <1,\\1&\leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq \infty ,\\s,&s_{0},s_{1}\in \mathbf {R} ,\\s_{\theta }&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1},\\[4pt]{\frac {1}{p_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\\[4pt]{\frac {1}{q_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.\end{aligned}}}$

複素補間は、ベゾフ空間だけでなく、 ソボレフ空間（ベッセルポテンシャル空間）のクラスでもうまく機能します。${\displaystyle H_{p}^{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(H_{p_{0}}^{s_{0}},H_{p_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}<\infty .\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{aligned}}}$

ソボレフ空間間の実補間はベソフ空間を与えることがあるが、s ₀ = s ₁の場合にはそうではない。

${\displaystyle \left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^{s}.}$

s ₀ ≠ s ₁だがp ₀ = p ₁のとき、ソボレフ空間間の実補間によりベゾフ空間が得られる。

${\displaystyle \left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.}$

また、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\\\left(B_{p,q_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q_{\theta }}^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{aligned}}}$

• リース・トーリン定理
• マルチンキェヴィチの補間定理

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