バナッハ格子

関数解析と順序論における数学の分野では、バナッハ格子( X ,‖·‖)は格子順序,を持つ完全なノルムベクトル空間であり、すべてのx , y ∈ Xに対して次の含意が成り立ち、絶対値|·|は次のように定義される。 ${\displaystyle \leq}$$${\displaystyle {|x|\leq |y|}\Rightarrow {\|x\|\leq \|y\|}}$$$${\displaystyle |x|=x\vee -x:=\sup\{x,-x\}{\text{.}}}$$

バナッハ格子は関数解析において非常に一般的であり、「[1948年]のバナッハ空間の既知の例はすべてベクトル格子でもあった。」^[1] 特に:

• ℝ は、その絶対値をノルムとして、バナッハ格子になります。
• X を位相空間、Y をバナッハ格子、𝒞( X , Y )をXからYへのノルムを持つ連続有界関数の空間とすると、𝒞( X , Y )は点ごとの半順序の下でのバナッハ格子である:$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}{\text{.}}}$$$${\displaystyle {f\leq g}\Leftrightarrow (\forall x\in X)(f(x)\leq g(x)){\text{.}}}$$

非格子バナッハ空間の例は既に知られており、ジェームズ空間もその一つである。^[2]

バナッハ格子の連続双対空間はその位数双対に等しい。^[3]

あらゆるバナッハ格子は恒等式への連続近似を許容する。^[4]

追加条件を満たすバナッハ格子は抽象(L)空間と呼ばれる。このような空間は、可分性の仮定の下で、L ¹ ( [0,1] )の閉じた部分格子と同型である。^[5] 古典的な平均エルゴード定理とポアンカレ再帰性は抽象(L)空間に一般化される。^[6]$${\displaystyle {f,g\geq 0}\Rightarrow \|f+g\|=\|f\|+\|g\|}$$

• バナッハ空間 – 完全なノルムベクトル空間
• 正規ベクトル格子
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間
• 格子（順序）  - 最小値と最大値を持つペアの集合

• アブラモビッチ、ユーリ A.; アリプランティス、CD (2002)。作用素理論への招待。数学大学院研究。第 50 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2146-6。
• バーコフ、ギャレット(1948)。格子理論。AMS コロキウム出版 25 (改訂版)。ニューヨーク市: AMS。hdl : 2027/iau.31858027322886 – HathiTrust 経由。
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.