完全位相ベクトル空間

対角線​​${\displaystyle X}$集合は^{[ 1 ]です}$${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ そしてどんな${\displaystyle N\subseteq X,}$の正統派の側近/周辺地域${\displaystyle N}$セットは $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ もし${\displaystyle 0\in N}$それから${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$対角線を含む${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

もし${\displaystyle N}$は対称集合です（つまり、${\displaystyle -N=N}$）、 それから${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$は対称であり、定義上、${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$が成り立つ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$さらに、この対称集合とそれ自身との 合成は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}\\&=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

もし${\displaystyle {\mathcal {L}}}$原点における近隣ベースは${\displaystyle (X,\tau )}$すると、部分集合の族は${\displaystyle X\times X:}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$はプリフィルター です${\displaystyle X\times X.}$ もし${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$原点の近傍フィルタは${\displaystyle (X,\tau )}$それから${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$均一な構造のための側近の基盤を形成する${\displaystyle X}$それは正典とみなされる。^{[ 2 ]}定義 上、正準の均一性${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle (X,\tau )}$^{[ 2 ]}はフィルタです${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$の上${\displaystyle X\times X}$上記のプリフィルターによって生成されたもの： $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~{\text{there exists }}N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ such that }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ どこ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$上方閉合を表す${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$で${\displaystyle X\times X.}$ 原点のすべての近傍のフィルターではなく、原点の近傍基底を使用することによって、同じ正準の均一性が得られる。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$原点における近隣ベースは${\displaystyle (X,\tau )}$フィルターをオンにすると${\displaystyle X\times X}$プリフィルターによって生成された${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$正準一様度に等しい${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$誘発される${\displaystyle (X,\tau ).}$

一様空間の一般理論には、「コーシー前フィルター」と「コーシーネット」の独自の定義があります。${\displaystyle X,}$これらの定義は、以下に挙げるものに集約される。

仮定する${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ネットは${\displaystyle X}$そして${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ネットは${\displaystyle Y.}$ この製品は${\displaystyle I\times J}$宣言することで有向集合になります${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$かつその場合に限り${\displaystyle i\leq i_{2}}$そして${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ それから $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ （デカルト座標系）製品ネット、特に${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$もし${\displaystyle X=Y}$すると、ベクトル加算マップの下にあるこのネットの画像${\displaystyle X\times X\to X}$はこれら２つのネットの合計： ^{[ 3 ]}$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ そして同様に彼らの差分は、ベクトル減算マップによる積ネットの画像として定義される。${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$: $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ 特に、表記法${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$は${\displaystyle I^{2}}$-インデックス付きネット${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$そして、${\displaystyle I}$-インデックス付きネット${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$後者を定義として用いると、その表記法は無意味になってしまうからである。

ネット​${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$TVSで${\displaystyle X}$コーシーネット^{[ 4 ]}と呼ばれるのは、 $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ 具体的に言うと、これはすべての近隣地域について${\displaystyle N}$の${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X,}$インデックスが存在する${\displaystyle i_{0}\in I}$そのため${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i,j\in I}$満足する${\displaystyle i\geq i_{0}}$そして${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ 特定の近隣ベースでこれらの定義条件のいずれかをチェックすれば十分です。${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$ コーシー列とは、コーシー網でもある列のことである。

もし${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$それから${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$で${\displaystyle X\times X}$したがって、ベクトル減算マップの連続性${\displaystyle S:X\times X\to X,}$これは次のように定義されます${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$保証する${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$で${\displaystyle X,}$どこ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$そして${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ これは、すべての収束ネットがコーシーネットであることを証明しています。定義により、逆もまた常に真である場合、空間は完備であると呼ばれます。つまり、${\displaystyle X}$以下の条件が満たされる場合に限り、完全である。

いつでも${\displaystyle x_{\bullet }}$ネットは${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle x_{\bullet }}$（ある時点で）収束する${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$で${\displaystyle X.}$

フィルタやプリフィルタをネットの代わりに用いた場合でも、同様の完全性の特徴付けが成り立つ。

シリーズ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$と呼ばれるコーシー級数（それぞれ、収束級数）部分和の列の場合${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$はコーシー列（または収束列）です。^{[ 5 ]}すべての収束級数は必ずコーシー級数です。完全なTVSでは、すべてのコーシー級数は必ず収束級数です。

プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {B}}}$位相ベクトル空間上${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、それはコーシー前フィルタ^{[ 6 ]}と呼ばれます。

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$で${\displaystyle X.}$
   • 家族${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$これはプリフィルターです。
   • 具体的に言うと、${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$つまり、すべての近隣地域について${\displaystyle N}$起源の${\displaystyle X,}$存在する${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$で${\displaystyle X.}$
   • 家族${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$は、以下のプリフィルターと同等です。${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$（等価性とは、これらのプリフィルターが同じフィルターを生成することを意味します）${\displaystyle X}$)
   • 具体的に言うと、${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$つまり、すべての近隣地域について${\displaystyle N}$起源の${\displaystyle X,}$いくつか存在する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. すべての地域${\displaystyle N}$起源の${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$いくつか含まれています${\displaystyle N}$-小さな集合（つまり、いくつかの${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle B-B\subseteq N}$[ ^{6 ]​}
   • サブセット${\displaystyle B\subseteq X}$と呼ばれる${\displaystyle N}$-小さいまたは少量の注文${\displaystyle N}$^{[ 6 ]}もし${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. すべての地域${\displaystyle N}$起源の${\displaystyle X,}$いくつか存在する${\displaystyle x\in X}$そしていくつか${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 6 ]}
   • この記述は、もし「${\displaystyle B\subseteq x+N}$「 」は「 」に置き換えられます。${\displaystyle x+B\subseteq N.}$「
5. 起源のすべての近隣地域${\displaystyle X}$形式のサブセットの一部を含む${\displaystyle x+B}$どこ${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

任意の近隣ベースで上記の条件のいずれかをチェックすれば十分です。${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$ コーシーフィルターは、フィルターでもあるコーシー前フィルターです。${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle {\mathcal {B}}}$位相ベクトル空間上の前処理フィルタ${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle x\in X,}$それから${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$で${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {B}}}$コーシーである。^{[ 3 ]}

いかなる場合でも${\displaystyle S\subseteq X,}$プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の上${\displaystyle S}$は必然的に の部分集合である${\displaystyle \wp (S)}$つまり、${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

サブセット${\displaystyle S}$TVSの${\displaystyle (X,\tau )}$と呼ばれる以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、完全な部分集合とする。

1. すべてのコーシー前フィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$の上${\displaystyle S}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle S.}$
   • もし${\displaystyle X}$ハウスドルフであれば、すべてのプリフィルターは${\displaystyle S}$最大で 1 つの点に収束します${\displaystyle X.}$しかしもし${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間でない場合、プリフィルターは複数の点に収束する可能性がある。${\displaystyle X.}$ネットについても同様です。
2. すべてのコーシーネット${\displaystyle S}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$は、（点集合位相における「完全一様空間」の定義の下で）完全一様空間である。${\displaystyle S}$は、正準均一性によってもたらされる均一性を備えている。${\displaystyle X.}$

サブセット${\displaystyle S}$と呼ばれるすべてのコーシー列が順次完全な部分集合である場合${\displaystyle S}$（あるいは同等に、すべての基本的なコーシーフィルター/プリフィルター${\displaystyle S}$) は少なくとも 1 つの点に収束する${\displaystyle S.}$

重要なことに、${\displaystyle S}$セットが完全であることを妨げない:${\displaystyle X}$ハウスドルフではなく、すべてのコーシー前フィルターが${\displaystyle S}$ある一点に収束する${\displaystyle S,}$それから${\displaystyle S}$コーシー前フィルターの一部または全部が${\displaystyle S}$また、以下の点に収束する${\displaystyle X\setminus S.}$要するに、これらのコーシー前フィルターが${\displaystyle S}$のみに収束する${\displaystyle S.}$コーシーネットの収束についても同じことが言える。${\displaystyle S.}$

その結果、TVS${\displaystyle X}$がハウスドルフでないならば、閉包のすべての部分集合は${\displaystyle \{0\}}$で${\displaystyle X}$はコンパクトであるため完全であり、すべてのコンパクト集合は必然的に完全である。特に、${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$は真部分集合であり、例えば${\displaystyle S=\{0\}}$例えば、${\displaystyle S}$コーシーネットはすべて完成するだろう${\displaystyle S}$（そして、すべてのコーシー前フィルターも${\displaystyle S}$) は、のすべての点に収束します。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$それらの点を含めて${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$に属さない${\displaystyle S.}$ この例は、非ハウスドルフTVSの完全部分集合（そして実際にはコンパクト部分集合でさえも）が閉じられない可能性があることも示しています。たとえば、${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$それから${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$閉鎖中${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間${\displaystyle X}$と呼ばれる以下のいずれかの条件が満たされる場合、位相ベクトル空間は完全であるとする。

1. ${\displaystyle X}$正準的な均一性を備えている場合、それ は完全な均一空間となる。
   • 一様空間の一般理論において、一様空間は、各コーシーフィルターが である場合に完全一様空間と呼ばれる。${\displaystyle X}$ある一点に収束する${\displaystyle X}$ 均一性によって誘導されるトポロジーにおいて。${\displaystyle X}$TVS の場合、正準均一性によって誘導されるトポロジーは、${\displaystyle X}$の与えられたトポロジー（したがって、この誘導トポロジーでの収束は、通常の収束と同じです）${\displaystyle X}$)
2. ${\displaystyle X}$それはそれ自身に関する完全な部分集合である。
3. 原点の近傍が存在する${\displaystyle X}$それはまた完全な部分集合でもある${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
   • これは、局所的にコンパクトなTVSはすべて完全であることを意味する（TVSがハウスドルフ空間でなくても）。
4. すべてのコーシー前フィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$の上${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$
   • もし${\displaystyle X}$ハウスドルフであれば、すべてのプリフィルターは${\displaystyle X}$最大で 1 つの点に収束します${\displaystyle X.}$しかしもし${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間でない場合、プリフィルターは複数の点に収束する可能性がある。${\displaystyle X.}$ネットについても同様です。
5. すべてのコーシーフィルター${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$
6. すべてのコーシーネット${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$

さらに${\displaystyle X}$が擬似距離化可能または距離化可能（例えば、ノルム空間）である場合、このリストは以下のように拡張できます。

7. ${\displaystyle X}$順次完了している。

位相ベクトル空間${\displaystyle X}$は以下のいずれかの同等の条件が満たされる場合、順次完了する。

1. ${\displaystyle X}$それは、それ自身に関する順序的に完全な部分集合である。
2. すべてのコーシー列${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$
3. すべての基本的なコーシー前フィルター${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$
4. すべての基本的なコーシーフィルター${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle X}$少なくとも1つのポイントまで${\displaystyle X.}$

任意の部分集合について${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$let ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ そして $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ 空でない家族${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$と呼ばれる側近の拠点または側近の基本的なシステム${\displaystyle {\mathcal {B}}}$はプリフィルターです${\displaystyle X\times X}$以下のすべての条件を満たすこと：

1. すべてのセット${\displaystyle {\mathcal {B}}}$対角線を含む${\displaystyle X}$部分集合として、つまり、${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$すべての${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$言い換えれば、プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {B}}}$固定されています${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. すべての${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$いくつか存在する${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. すべての${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$いくつか存在する${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

A均一性または均一な構造${\displaystyle X}$フィルターです${\displaystyle {\mathcal {U}}}$の上${\displaystyle X\times X}$それは、何らかの側近集団の基盤によって生成される。${\displaystyle {\mathcal {B}},}$その場合、私たちは次のように言います。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$側近たちの拠点${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

可換加法群の場合${\displaystyle X,}$1並進不変なアントラージュの基本システム^{[ 7 ]}は、アントラージュの基本システムです。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$すべての${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$かつその場合に限り${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$すべての人々のために${\displaystyle x,y,z\in X.}$均一性${\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる並進不変な一様性^{[ 7 ]}は、並進不変なアントラージュの基底を持つ場合に成り立ちます。任意の TVS 上の正準一様性は並進不変です。 ^{[ 7 ]}

二項演算子${\displaystyle \;\circ \;}$以下の条件をすべて満たす：

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• もし${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$そして${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$それから${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• 連想性：${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• 身元：${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• ゼロ：${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

対称的な囲い

サブセットを呼び出す${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$対称の場合${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$これは以下と同等です${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ この等価性は、次の同一性から導かれる。${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$そして、もし${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$それから${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$かつその場合に限り${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ 例えば、セット${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$常にすべての${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ そしてそれは${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$もし${\displaystyle \Phi }$そして${\displaystyle \Psi }$対称であれば、${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

親族

させて${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$任意にして${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$それぞれ、第１および第２の座標への正準射影とする。

いかなる場合でも${\displaystyle S\subseteq X,}$定義する $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$$${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ どこ${\displaystyle \Phi \cdot S}$（それぞれ、${\displaystyle S\cdot \Phi }$）は左（それぞれ右）の集合と呼ばれます。${\displaystyle \Phi }$-（ポイント）の関連${\displaystyle S.}$ 特別な場合を表す${\displaystyle S=\{p\}}$は、いくつかの単一要素セットです。${\displaystyle p\in X}$による： $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$$${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ もし${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$それから ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ さらに、${\displaystyle \,\cdot \,}$右分配法則は和集合と積集合の両方に適用される。つまり、${\displaystyle R,S\subseteq X}$それから${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$そして${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

近隣地域とオープンセット

2ポイント${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は${\displaystyle \Phi }$-閉じる場合${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$そしてその部分集合${\displaystyle S\subseteq X}$と呼ばれる${\displaystyle \Phi }$-小さい場合${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

させて${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$側近たちの拠点となる${\displaystyle X.}$のある地点での近隣プレフィルタ${\displaystyle p\in X}$それぞれ、サブセット上で${\displaystyle S\subseteq X}$集合の族とは： $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ そしてフィルターは${\displaystyle X}$それぞれが生成するものは、近隣フィルター${\displaystyle p}$（それぞれ、${\displaystyle S}$) すべてに割り当てる${\displaystyle x\in X}$近隣のプレフィルター $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ そして、「開集合」の近傍定義を用いて、上のトポロジーを得る。${\displaystyle X}$によって誘導されるトポロジーと呼ばれる${\displaystyle {\mathcal {B}}}$または誘導トポロジー。具体的には、部分集合${\displaystyle U\subseteq X}$このトポロジーにおいて開いているのは、すべての${\displaystyle u\in U}$いくつか存在する${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$そのため${\displaystyle N\subseteq U;}$つまり、${\displaystyle U}$は、すべての${\displaystyle u\in U}$いくつか存在する${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

部分集合の閉包${\displaystyle S\subseteq X}$このトポロジーでは、次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

コーシー前フィルターと完全な均一性

プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$均一な空間上で${\displaystyle X}$均一に${\displaystyle {\mathcal {U}}}$すべてのアントラージュに対して、コーシー前フィルターと呼ばれる。${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$いくつか存在する${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

均一な空間${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$と呼ばれる完全な均一空間（それぞれ、逐次的に完全な一様空間) 上のすべてのコーシー前フィルタ (それぞれ、すべての基本コーシー前フィルタ) が${\displaystyle X}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle X}$いつ${\displaystyle X}$によって誘導されるトポロジーを備えている${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

位相ベクトル空間の場合

もし${\displaystyle (X,\tau )}$が位相ベクトル空間である場合、任意の${\displaystyle S\subseteq X}$そして${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ そして、誘導されるトポロジー${\displaystyle X}$正準一様性によって、それは位相と同じである。${\displaystyle X}$（つまり、それは${\displaystyle \tau }$)

完全擬距離空間の一般理論に関連する基本概念を復習します。すべての距離は擬距離であり、擬距離は${\displaystyle p}$は、以下の場合に限りメトリックである。${\displaystyle p(x,y)=0}$暗示する${\displaystyle x=y.}$したがって、すべての距離空間は擬距離空間であり、擬距離空間である。${\displaystyle (X,p)}$距離空間であるのは、${\displaystyle p}$これは指標です。

もし${\displaystyle S}$は擬距離空間の部分集合である${\displaystyle (X,d)}$すると直径​${\displaystyle S}$と定義される $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {B}}}$擬距離空間上${\displaystyle (X,d)}$と呼ばれる${\displaystyle d}$-コーシー前フィルター、または単にコーシー前フィルター（各実数に対して）${\displaystyle r>0,}$いくつかあります${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$直径が${\displaystyle B}$より小さい${\displaystyle r.}$

仮定する${\displaystyle (X,d)}$は擬距離空間です。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$で${\displaystyle X}$と呼ばれる${\displaystyle d}$-コーシーネット、または単にコーシーネット${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$はコーシー前フィルターであり、それは次の場合に限り発生します。

すべての${\displaystyle r>0}$いくつかあります${\displaystyle i\in I}$もし${\displaystyle j,k\in I}$と${\displaystyle j\geq i}$そして${\displaystyle k\geq i}$それから${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

または同等に、${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$で${\displaystyle \mathbb {R} .}$これは、収束の次の特徴付けに類似している。${\displaystyle x_{\bullet }}$ある程度まで：もし${\displaystyle x\in X,}$それから${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle (X,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$で${\displaystyle \mathbb {R} .}$

コーシー列とは、コーシーネットでもある列のことである。^{[注3 ]}

すべての擬似メトリック${\displaystyle p}$撮影現場で${\displaystyle X}$通常の正準位相を誘導する${\displaystyle X,}$これを次のように表す。${\displaystyle \tau _{p}}$また、それは、${\displaystyle X,}$これを次のように表す。${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$トポロジー${\displaystyle X}$均一性によって誘発される${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$に等しい${\displaystyle \tau _{p}.}$ネット${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$で${\displaystyle X}$は、${\displaystyle p}$一様性に関してコーシーである場合に限る${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ 擬距離空間${\displaystyle (X,p)}$は、以下の条件を満たす場合に限り、完全（または逐次完全）擬距離空間である。${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$は完備（または逐次完備）な一様空間である。さらに、擬距離空間は${\displaystyle (X,p)}$（それぞれ均一空間）${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$) は、それが逐次的に完全である場合に限り、完全である。

擬距離空間${\displaystyle (X,d)}$（例えば、距離空間）は完備と呼ばれ、${\displaystyle d}$以下のいずれかの同値条件が満たされる場合、完全擬距離と呼ばれる。

1. すべてのコーシー前フィルター${\displaystyle X}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle X.}$
2. 上記の記述のうち、「prefilter」という単語を「filter」に置き換えたものです。
3. すべてのコーシーネット${\displaystyle X}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle X.}$
   • もし${\displaystyle d}$は、${\displaystyle X}$すると、任意の極限点は必然的に一意であり、コーシー前フィルターの極限についても同様である。${\displaystyle X.}$
4. すべてのコーシー列${\displaystyle X}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle X.}$
   • したがって、${\displaystyle (X,d)}$が完了すれば、コーシー列のみを考慮すれば十分である。${\displaystyle X}$（より一般的なコーシー網を考慮する必要はない。）
5. 正統的な均一性${\displaystyle X}$擬似距離によって誘発される${\displaystyle d}$完全な均一性である。

さらに${\displaystyle d}$は指標であるため、このリストに追加することができます。

6. 直径が縮小する閉じた球の任意の減少列${\displaystyle 0}$空でない共通部分を持つ。^{[ 8 ]}

すべてのF空間、したがってすべてのフレシェ空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間は完備TVSである。すべてのF空間はベール空間であるが、ベール空間ではあるがバナッハ空間ではないノルム空間が存在することに注意されたい。^{[ 9 ]}

擬似距離${\displaystyle d}$ベクトル空間上${\displaystyle X}$と言われている並進不変擬距離の場合${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$すべてのベクトルについて${\displaystyle x,y,z\in X.}$

仮定する${\displaystyle (X,\tau )}$は擬似距離化可能なTVS（例えば、距離化可能なTVS）であり、${\displaystyle p}$は任意の擬距離関数である${\displaystyle X}$トポロジーが${\displaystyle X}$誘発される${\displaystyle p}$に等しい${\displaystyle \tau .}$ もし${\displaystyle p}$は並進不変である、${\displaystyle (X,\tau )}$完全な TVS であるのは、${\displaystyle (X,p)}$は完全擬距離空間である。^{[ 10 ]} もし${\displaystyle p}$は並進不変ではないので、${\displaystyle (X,\tau )}$完全なTVSであるために、${\displaystyle (X,p)}$完全な擬距離空間ではない[ ^{10 ] （}例についてはこの脚注^{[注4 ]を参照）。 [ 10 ]}