製品トポロジー

位相幾何学および数学の関連分野において、積空間は、積位相と呼ばれる自然な位相を備えた位相空間の族の直積である。この位相は、ボックス位相と呼ばれる、おそらくより自然に見える別の位相とは異なる。ボックス位相も積空間に与えることができ、積が有限個の空間上のみにある場合に積位相と一致する。しかし、積位相は、積空間をその因数のカテゴリカル積にする点で「正しい」のに対し、ボックス位相は細かすぎる。その意味で、積位相は直積上の自然な位相である。

全体を通して、は空でないインデックス集合となり、すべてのインデックスに対して は位相空間となります。集合の直積を で 表します。${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

そして、すべての添え字に対して、次の正準射影を次のように 表す。${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}}$$

の製品トポロジーとも呼ばれるティコノフ位相 は、が連続と最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義される位相を備えた直積は、${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$積空間。積位相における開集合は、 の形の集合の任意の和集合（有限または無限）であり、各 は、 に対して有限個だけ開集合である。特に、有限積（特に、2 つの位相空間の積）の場合、各 からの 1 つの基底元間のすべての直積の集合は、の積位相の基底を与える。つまり、有限積の場合、が の（選択された）基底の元であるすべての、 の積位相の基底である。${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle X_{i}}$${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

上の積位相は、の形の集合によって生成される位相であり、はの開集合である。言い換えれば、集合 ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

$${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$$

は、上の位相の部分基底を形成します。の部分集合が開いている場合、それは、の形式の有限個の集合の共通部分の（無限個の可能性もある）和集合である場合に限ります。は、開いた円筒と呼ばれることもあり、その共通部分は円筒集合です。 ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

積位相は点収束の位相とも呼ばれます。これは、内のシーケンス（またはより一般的にはネット）が収束する場合、そのすべての空間への射影が収束する場合に限るからです。明示的には、シーケンス（またはネット）が特定の点に収束する場合、およびそれが（または）を表すすべて のインデックスに対してである場合に限るということです。特に、 をすべて に対して使用する場合、直積は上のすべての実数値関数の空間であり、積位相における収束は関数の点収束と同じです。 ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }}$${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} }$${\displaystyle i}$${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$${\displaystyle I,}$

実数直線が 標準位相を備えている場合、のコピーの積上の積位相は上の通常のユークリッド位相に等しい（ は有限なので、これは上のボックス位相にも等しい）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

カントール集合は離散空間の可算なコピーの積に同相であり、無理数空間は自然数の可算なコピーの積に同相であり、ここでも各コピーは離散位相を持ちます。 ${\displaystyle \{0,1\}}$

初期トポロジに関する記事には、いくつかの追加例が示されています。

それぞれの位相の開集合間の直積集合は、上のボックス位相と呼ばれるものの基礎を形成します。一般に、ボックス位相は積位相よりも細かくなりますが、有限積の場合は両者は一致します。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X.}$

積空間は、正準射影とともに、次の普遍的性質によって特徴付けることができます。が位相空間であり、任意の が連続写像である場合、それぞれに対して次の図が可換となるような連続写像が1 つだけ存在します。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle i\in I}$

これは、積空間が位相空間のカテゴリの積であることを示しています。上記の普遍的性質から、写像が連続であるためには、 がすべてに対して連続である必要があります。多くの場合、成分関数が連続しているかどうかを確認する方が簡単です。写像が連続しているかどうかを確認するのは通常より困難です。何らかの方法で が連続している という事実を利用しようとします。${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle p_{i}}$

連続であることに加えて、正準射影は開写像です。つまり、積空間の任意の開部分集合は、 に射影されたときに開のままです。逆は真ではありません。 が積空間の部分空間であり、そのすべての への射影が開である場合、はで開いている必要はありません(たとえば を考えます)。正準射影は一般には閉写像ではありません(たとえば、両方の軸への射影が である閉集合を考えます)。 ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

が任意の部分集合の積であるとする。ここで、すべての に対してがすべて空でない場合、 は積空間の閉部分集合であるためには、すべての がの閉部分集合である場合に限ります。より一般的には、積空間における任意の部分集合の積の閉包は、閉包の積に等しい: ^[1]${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle S_{i}}$${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.}$$

ハウスドルフ空間の積はどれもハウスドルフ空間です。

選択公理と同等のティコノフの定理は、コンパクト空間の任意の積はコンパクト空間であると述べている。ティコノフの定理の特殊化は、超フィルター補題のみを必要とする（選択公理の完全な強さを必要としない）もので、コンパクトハウスドルフ空間の任意の積はコンパクト空間であると述べている。

が固定されている場合、セット ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

$${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}}$$

は積空間の稠密な部分集合である。^[1]${\displaystyle X}$

分離

• T ₀空間のすべての積はT ₀です。
• T ₁空間のすべての積はT ₁です。
• ハウスドルフ空間のすべての製品はハウスドルフです。
• 正則空間のすべての積は正則である。
• チコノフ空間のすべての積はチコノフです。
• 正規空間 の積は正規である必要はありません。

コンパクトさ

• コンパクト空間のすべての積はコンパクトである (チコノフの定理)。
• 局所コンパクト空間 の積は、必ずしも局所コンパクトである必要はありません。ただし、有限個を除いてすべてがコンパクトである局所コンパクト空間の任意の積は、局所コンパクトです(この条件は十分かつ必要です)。

つながり

• 連結された（パス連結された）空間のすべての積は連結された（パス連結された）空間である。
• 遺伝的に切断された空間のすべての産物は、遺伝的に切断されています。

メトリック空間

• 距離空間の可算積は距離化可能な空間です。

選択公理を表現する多くの方法の 1 つは、空でない集合の直積は空でないというステートメントと同等であると言うことです。^[2]これが選択関数に関する公理のステートメントと同等であることの証明はすぐにできます。積の代表を見つけるには、各集合から要素を選択するだけで済みます。逆に、積の代表は、各コンポーネントから正確に 1 つの要素を含む集合です。

選択公理は（位相的）積空間の研究でも再び登場します。例えば、コンパクト集合に関するティコノフの定理は、選択公理を必要とするより複雑で微妙な例であり、最も一般的な定式化では選択公理と同等であり、^[3]積位相が直積に配置するより有用な位相であると考えられる理由を示しています。

• 不連続和（位相）  - 基底集合の不連続和に不連続和位相と呼ばれる自然な位相を付与することで形成される空間Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 最終位相 – いくつかの関数を連続させる最も微細な位相
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• 弱位相 – 数学用語

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。マサチューセッツ州レディング:アディソン・ウェスレー出版。ISBN 0486434796. 2013年2月13日閲覧。